Was machen die Parameter a,b,c,d einer kubischen Funktion?

Question

Kubische Funktion:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+ d , a ≠ 0

Was machen die Parameter a,b,c und d und wie bestimmt man ihre Aufgaben? d ist ja die Verschiebung in y Richtung, daher der Schnittpunkt mit der y - Achse, aber was machen a ,b und c?

Danke.

Comments

Dreh mal hier an den Reglern für die Koeffizienten und studieren deren Ausswirkungen auf die Funktion!

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Danke, aber ich habe nur Vermutungen :

a —> Streckung/Stauchung in y Richtung

b —> Streckung/Stauchung in x Richtung

c —> Verschiebung in x und y Richtung

d —-> Verschiebung in y Richtung

Kann das sein?

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Passt vielleicht zu der Frage hier:

Kein mir einer mal erklären, was der kubische Koeffizient ist?

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@gustav: Damit könnte das a gemeint sein. Frage aber besser beim Fragesteller nach, was er genau haben wollte. a selbst ist ja nicht "kubisch".

Answer 1

Ich versuche mal daraus Schlüsse zu ziehen:

Der Leitkoeffizient \(|a|\) streckt oder staucht das kubische Polynom in Richtung der \(y\)-Richtung.

Der Paramter \(d\) ist verantwortlich für die Verschiebung entlang der \(y\)-Achse, d.h.:

d>0 Die Funktion ist nach oben verschoben

d=0 Die Funktion ist homogen

d<0 Die Funktion ist nach unten verschoben

Für die \(c\) und \(b\) müsste ich neue Bezeichnungen erfinden, um das zu beschreiben, da diese die "Wölbungen" der Funktion beeinflussen. Damit meine ich die parabelartigen Wölbungen, deren Maxima/Minima auch die lokalen Minima/Maxima der Funktion sind.

Hier, damit du verstehst, was ich mit "Wölbung" meine:

Comments

Nach Deiner Vorrede kannst Du \(a=1\) annehmen und durch Substitution zur reduzierten Form \(z^3+pz+q\) uebergehen. Deine "Woelbungen" ergeben sich gerade für \(p<0\).

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Danke, aber c und d müssen doch auch grundlegende Funktionen haben. Lassen solche Funktionen Streckungen in x Richtung nicht zu?

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Danke, aber c und d müssen doch auch grundlegende Funktionen haben

Ja, das ist richtig!

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Man könnte sagen, dass das \(c\) die Amplitude der Wölbungen beeinflusst.

Exkurs aus der Musik:

Eine Schwingung kann beschreiben werden, indem zu jeden Zeitpunkt \(t\) eine Momentane Auslekungen \(y(t)\) als FUnktion beschreibt. Bei einem Sinuston hat diese Schwingungsfunktion die Form:$$y(t)=y_0\cdot \sin(2\pi f\cdot t)$$Hierbei ist:

\(y_{0}\)=Amplitude

\(f\) die Frequenz der Schwingung

Guck mal hier, ich habe mal ein GIF daraus gemacht:

https://gyazo.com/f8d17985eb442fbc9c09cf167f2d3581

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Orange ist in dem GIF die Sinusfunktion mit einem Vorfaktor a:

\(a\cdot \sin(x)\)

Schwarz entspricht \(ax^3+bx^2+cx+d\), wobei ich den Regler für den Koeffizienten \(c\) verschoben habe.

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Das gilt allerdings nur für \(c≤0\) würde ich mal sagen. Wenn \(c>0\), dann streckt sich die Funktion entlang der \(y\)-Achse.

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Kopiere das aber am besten nicht so... Das ist nicht aus einem Lehrbuch entnommen oder so ..

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Hmm okay ich merke es ist doch schwieriger als gedacht. Eine Kurze Frage : f(x) = ax^2+bx kann ich folgendes sagen für b > 0 —> Parabel liegt im III Quadranten und für b < 0 —-> Parabel liegt im IV Quadranten?

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Ja, das kann man so sagen!

Answer 2

$$f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\quad a ≠ 0$$

Die kleinen Potenzen sind für das lokale Verhalten von \(f\) bei \(x=0\) verantwortlich. Dabei bestimmt \(d\) wo und \(c\) wie der Graph die y-Achse schneidet, denn in ihrem Punkt \((0\vert d)\) besitzt die Funktion die Tangente \(y=cx+d\).

Die höchste Potenz ist für das globale Verhalten im Unendlichen verantwortlich. Der Graph verhält sich im Unendlichen so, wie die Potenzfunktion \(y=ax^3\).

Sicher lassen sich auch für den Parameter \(b\) noch Deutungen finden.

Comments

b gibt das Krümmungsverhalten am y-Achsenabschnitt an.

Beispiel. -x³ +4x² + 5x + 6 hat ihre Wendestelle bei x_w > 0, weil sie am y-Achsenabschnitt wegen 4>0 linksgekrümmt ist, aber laut Globalverlauf für x→∞ rechtsgekrümmt gegen -∞ geht.

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@oswald: Ja, ich weiß, denn es ist ja \(f''(0)=2b\). Ich war aber nicht in der Lage, es irgendwie gut zu erklären und sinnvolle Konsequenzen daraus herzuleiten. Somit ist es eine schöne Ergänzung! :-)

Answer 3

https://www.geogebra.org/graphing

Guckst Du

Answer 4

Probiere es selbst hier aus:

Öffnen mit Klick auf "Desmos" (rechts). Dann dort die Slider nach rechts und links bewegen.

Comments

Ich habe es versucht und konnte nur a und d bestimmen, also a als Streckung in y Richtung. Aber b und c konnte ich nicht bestimmen, ich denke an Streckung in x Richtung.

Answer 5

fehlt ja wohl nur noch was zu dem b.

Vielleicht nutzt das was:

Die 2. Ableitung ist f ' '(x) = 6ax + 2b also f ' ' (x) = 0

falls  x = -b/3a .  (a ist ja sinnigerweise nicht 0)

Und das ist dann die x-Koordinate des für a ≠ 0 immer vorhandenen

Wendepunktes.  Also könnte man wohl sagen: Das Verhältnis b : a

ist bestimmend für die Position des Wendepunktes

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