Was machen die Parameter a,b,c,d einer kubischen Funktion?

Question

Kubische Funktion:

f(x) = ax³+bx²+cx+ d , a ≠ 0

Was machen die Parameter a,b,c und d und wie bestimmt man ihre Aufgaben? d ist ja die Verschiebung in y Richtung, daher der Schnittpunkt mit der y - Achse, aber was machen a ,b und c?

Danke.

Comments

Dreh mal hier an den Reglern für die Koeffizienten und studieren deren Ausswirkungen auf die Funktion!

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Danke, aber ich habe nur Vermutungen :

a —> Streckung/Stauchung in y Richtung

b —> Streckung/Stauchung in x Richtung

c —> Verschiebung in x und y Richtung

d —-> Verschiebung in y Richtung

Kann das sein?

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Passt vielleicht zu der Frage hier:

Kein mir einer mal erklären, was der kubische Koeffizient ist?

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@gustav: Damit könnte das a gemeint sein. Frage aber besser beim Fragesteller nach, was er genau haben wollte. a selbst ist ja nicht "kubisch".

Answer 1

Ich versuche mal daraus Schlüsse zu ziehen:

Der Leitkoeffizient $|a|$ streckt oder staucht das kubische Polynom in Richtung der $y$-Richtung.

Der Paramter $d$ ist verantwortlich für die Verschiebung entlang der $y$-Achse, d.h.:

d>0 Die Funktion ist nach oben verschoben

d=0 Die Funktion ist homogen

d<0 Die Funktion ist nach unten verschoben

Für die $c$ und $b$ müsste ich neue Bezeichnungen erfinden, um das zu beschreiben, da diese die "Wölbungen" der Funktion beeinflussen. Damit meine ich die parabelartigen Wölbungen, deren Maxima/Minima auch die lokalen Minima/Maxima der Funktion sind.

Hier, damit du verstehst, was ich mit "Wölbung" meine:

Comments

Nach Deiner Vorrede kannst Du $a=1$ annehmen und durch Substitution zur reduzierten Form $z^3+pz+q$ uebergehen. Deine "Woelbungen" ergeben sich gerade für $p<0$.

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Danke, aber c und d müssen doch auch grundlegende Funktionen haben. Lassen solche Funktionen Streckungen in x Richtung nicht zu?

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Danke, aber c und d müssen doch auch grundlegende Funktionen haben

Ja, das ist richtig!

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Man könnte sagen, dass das $c$ die Amplitude der Wölbungen beeinflusst.

Exkurs aus der Musik:

Eine Schwingung kann beschreiben werden, indem zu jeden Zeitpunkt $t$ eine Momentane Auslekungen $y(t)$ als FUnktion beschreibt. Bei einem Sinuston hat diese Schwingungsfunktion die Form:$$y(t)=y_0\cdot \sin(2\pi f\cdot t)$$Hierbei ist:

$y_{0}$=Amplitude

$f$ die Frequenz der Schwingung

Guck mal hier, ich habe mal ein GIF daraus gemacht:

https://gyazo.com/f8d17985eb442fbc9c09cf167f2d3581

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Orange ist in dem GIF die Sinusfunktion mit einem Vorfaktor a:

$a\cdot \sin(x)$

Schwarz entspricht $ax^3+bx^2+cx+d$, wobei ich den Regler für den Koeffizienten $c$ verschoben habe.

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Das gilt allerdings nur für $c≤0$ würde ich mal sagen. Wenn $c>0$, dann streckt sich die Funktion entlang der $y$-Achse.

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Kopiere das aber am besten nicht so... Das ist nicht aus einem Lehrbuch entnommen oder so ..

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Hmm okay ich merke es ist doch schwieriger als gedacht. Eine Kurze Frage : f(x) = ax²+bx kann ich folgendes sagen für b > 0 —> Parabel liegt im III Quadranten und für b < 0 —-> Parabel liegt im IV Quadranten?

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Ja, das kann man so sagen!

Answer 2

$$f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\quad a ≠ 0$$

Die kleinen Potenzen sind für das lokale Verhalten von $f$ bei $x=0$ verantwortlich. Dabei bestimmt $d$ wo und $c$ wie der Graph die y-Achse schneidet, denn in ihrem Punkt $(0\vert d)$ besitzt die Funktion die Tangente $y=cx+d$.

Die höchste Potenz ist für das globale Verhalten im Unendlichen verantwortlich. Der Graph verhält sich im Unendlichen so, wie die Potenzfunktion $y=ax^3$.

Sicher lassen sich auch für den Parameter $b$ noch Deutungen finden.

Comments

b gibt das Krümmungsverhalten am y-Achsenabschnitt an.

Beispiel. -x³ +4x² + 5x + 6 hat ihre Wendestelle bei x_w > 0, weil sie am y-Achsenabschnitt wegen 4>0 linksgekrümmt ist, aber laut Globalverlauf für x→∞ rechtsgekrümmt gegen -∞ geht.

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@oswald: Ja, ich weiß, denn es ist ja $f''(0)=2b$. Ich war aber nicht in der Lage, es irgendwie gut zu erklären und sinnvolle Konsequenzen daraus herzuleiten. Somit ist es eine schöne Ergänzung! :-)

Answer 3

https://www.geogebra.org/graphing

Guckst Du

Answer 4

Probiere es selbst hier aus:

Öffnen mit Klick auf "Desmos" (rechts). Dann dort die Slider nach rechts und links bewegen.

Comments

Ich habe es versucht und konnte nur a und d bestimmen, also a als Streckung in y Richtung. Aber b und c konnte ich nicht bestimmen, ich denke an Streckung in x Richtung.

Answer 5

fehlt ja wohl nur noch was zu dem b.

Vielleicht nutzt das was:

Die 2. Ableitung ist f ' '(x) = 6ax + 2b also f ' ' (x) = 0

falls  x = -b/3a .  (a ist ja sinnigerweise nicht 0)

Und das ist dann die x-Koordinate des für a ≠ 0 immer vorhandenen

Wendepunktes.  Also könnte man wohl sagen: Das Verhältnis b : a

ist bestimmend für die Position des Wendepunktes

.