Grenzwert von Reihen. Bsp. Σ (1/n - (1/(n+2))

Question 1

Ich muss den Grenzwert von folgenden Reihen berechnen, weiß aber nicht so Recht, wie ich darauf komme:

$$ \sum_{n=3}^{\infty}{(1/n - (1/(n+2)))} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{2^{(1-3n)} }$$ (das soll 2^{1-3*n} sein - irgendwie klappt das mit der Formatierung nicht)

Kann mir jemand sagen, wie man hier auf den Grenzwert kommt? Vielen Dank vorab!

Question 2

b) 2^{1-3n} = 2^1/2^{3n} = 2/2^{3n}

a_(0)= 2/8 = 1/4

q= 1/2^3 = 1/8

∑ = 2/7

Question 3

Σ (1/n−(1/(n+2))) ist eine Teleskopsumme.

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Question 4

danke für die Antwort und den Tip.

Kann es sein, dass die erste Reihe (Teleskopsumme) gegen 3/2 - 1/n+2 konvergiert?

Question 5

Davon musst du noch den Grenzwert bilden.
Lim_{n->unendlich} ( 3/2 - 1/(n+2))
= 3/2 - 0
= 3/2

Ich müsste aber deine Rechnung sehen, um 3/2 bestätigen zu können.

Meine Version:

∑ 1/n−(1/(n+2))

= 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 + 1/5 - 1/7 + 1/6 - 1/8 + 1/7 - 1/9 + .... + 1/n - 1/(n-2)

= 1/3 + 1/4 - 1/8 - 1/9 + ....-1/(n-1) + 1/n - 1/(n-2)

hier gehen zwischendrinn noch mehr Summanden weg. Die letzen zwei, die noch zu addieren sind, gehen im Grenzwert gegen 0 .

lim_{n->unendlich} ( 1/3 + 1/4 .-1/(n-1) - 1/(n-2) )

= = 1/3 + 1/4 -0 - 0

= 7/12

Question 6

Ach entschuldige bitte, ich habe oben einen Schreibfehler gemacht.. es muss bei der Teleskopreihe eigentlich von n=1 bis unendlich heißen..

Question 7

Bei n=1 bis unendlich verstehe ich 3/2 schon besser. :)

Allerdings eher so:

Lim_{n->unendlich} ( 3/2 - 1/(n-1) - 1/(n+2))
= 3/2 - 0
= 3/2

Caramba · Answer 1 · 2018-08-21T10:42:48+0000

b) 2^{1-3n} = 2^1/2^{3n} = 2/2^{3n}

a_(0)= 2/8 = 1/4

q= 1/2^3 = 1/8

∑ = 2/7

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