Wie beweise ich, dass die quadratische Funktion im III.Quadranten liegt?

Question

Ich zerbrechne mich schon seit langem den Kopf darüber es geht um folgendes :

f(x) = ax^2+bx, a,b ∈ ℝ, a ≠ 0 ∧ a ≥ 1

Wenn b > 0 dann liegt die Parbel im III.Quadranten,aber warum ist dies so?. Ich dachte mit dem Limes könnte ich dies beweisen, aber das Problem hierbei ist das die Funktion für negative x Werte auch positive Funktionswerte haben kann. Also wieder nichts. Wenn ich diese Funktionsgleichung quadratische Ergänze bringt es mir auch nichts. Was jemand die Lösung ?

Danke.

Comments

Bestimme den Scheitel!

Answer 1

Erinnere dich

f(x) = ax^2 + bx + c

a ist der öffnungsfaktor und bei a >= 1 handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel.

c ist der y-Achsenabschnitt und bei c = 0 ist der Ursprung ein Punkt der Funktion.

b ist die Steigung im y-Achsenabschnitt und bei b > 0 ist die Steigung positiv.

Man kann daher sagen der Graph verläuft Steigend durch den Ursprung.

Da es eine nach oben offene Parabel ist befinden wir uns rechts vom Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist der Tiefste Punkt und damit zwangsweise im 3. Quadranten.

Wenn du weißt das die beiden Nullstellen bei x = 0 und x = -b liegen dann liegt der Scheitelpunkt bei x = -b/2.

Du könntest jetzt noch die y-Koordinate bestimmen indem du die x-Koordinate einsetzt.

Comments

Vielen Dank, allerdings muss ich noch 4 Bedingungen abklappern. Wann ist mein

Beweis aussagekräftig?

Answer 2

Die vorgelegte Parabel ist nach oben offen und verläuft durch den Ursprung. Damit der Graph teilweise im dritten Quadranten liegt, muss mindestens eine Nullstelle negativ sein. Die noch fehlende Nullstelle ist aber \(x=-b\), also muss \(b\) positiv sein.

Comments

Vielen Dank, ich habe noch weitere 4 Bedingungen. Wann ist mein Beweis aussagekräftig?

---

Vielen Dank, ich habe noch weitere 4 Bedingungen. Wann ist mein Beweis aussagekräftig?

Könntest du dein Anliegen vielleicht auch irgendwie "im Ganzen" beschreiben? Es lassen sich sehr viele Bedingungen angeben, aus denen auf die Lage einer Parabel im Koordinatensystem geschlossen werden kann.

---

Wann ist mein Beweis aussagekräftig?

Wenn du zu jeder Schlussfolgerung angeben kannst, warum du diese Schlussfolgerung treffen darfst.

Answer 3

f(x) = ax2+bx, a,b ∈ ℝ, a ≥ 1
Wenn b > 0 dann liegt die Parabel im III.Quadranten.

Das stimmt so nicht. Der Scheitelpunkt liegt im III.Quadranten. Eine Parabel kann nicht in nur einem Quadranten liegen.

Comments

Das stimmt, hatte ich nicht bedacht, allerdings weiß ich nicht wie ich mit den Scheitelpunkt b > 0 beweisen kann. Ich weiß nur wenn b um eins erhöht wird verschiebt sich die Parbel in x Richtung um jeweils 1/2 nach links.

---

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen x₁=0 und x₂=-b/a, also bei x₃=-b/(2a). Dann ist die y-Koordinate ab²/(4a²)-b²/(2a)= b²/(4a)-b²/(2a)<0.

---

Ich habe jetzt versucht alles zu notieren und habe folgendes.

Da der x Wert des Scheitels -b/2a ist, kann der Scheitelpunkt nicht im I oder IV Quadranten liegen. Da -b^2/4a < 0 ist kann der Scheitelpunkt nur im III Quadranten liegen für b > 0, weil für negative Werte keine postiven Funktionswerte rauskommen können.

Passt es so ?

---

Klarer ist es so: S(-b/(2a)|-b²/(4a))ist der Scheitelpunkt.  Da a und b positiv sind, sind beide Koordinaten des Scheitelpunktes negativ.

Answer 4

f(x) = ax^2+bx, a,b ∈ ℝ, a ≠ 0 ∧ a ≥ 1
3.Quadrant
x < 0 , y < 0

ax^2 + bx < 0
x * ( ax + b ) < 0
x < 0
minus * plus < 0
ax + b > 0
ax > -b | : a , a ist positiv, es gilt
( x > -b/a ) und ( x < 0 )
-b/a < x < 0

-b/a < 0
a ist positiv
-b < 0 | * -1
b > 0

Falls b positiv ist dann verläuft die
Funktion durch den 3.Quadranten

Vielleicht ist der Nachweis auch kürzer
zu führen.

Comments

Was ist wenn ich annehmen würde für b > 0 läge der Scheitelpunkt im IV Quadranten, dann müsste ich theoretisch nur einen Widerspruch zeigen oder?

---

Ohne groß zu rechnen.

f(x) = ax^2+bx, a,b ∈ ℝ, a ≠ 0 ∧ a ≥ 1

Die Funktion ist eine nach oben geöffnete
Parabel.
Die Parbel geht durch ( 0 | 0 ).
Falls der Scheitelpunkt im 4.Quadranten liegt
führt die Parabel nicht durch den 3.Quadranten..
Die Parabel hat den Scheitelpunkt im 4.Quadranten
geht dann über ( 0 | 0 ) in den 2.Quadranten.

---

Hier einmal der Graph
für alle a = 1
blau : b = 1
rot : b = -1

blau befindet sich im 3.Quadranten

Answer 5

Hi,

die Nullstellen Deiner Parabel sind \( x_0 = 0 \) und \( x_0 = -\frac{b}{a} \) und der Scheitelpunkt liegt bei

\( x_s = -\frac{b}{2a} \) und \( y_s = -\frac{b^2}{4a} \)

Daran kannst Du sehen, in welchem Quadraten der Scheitelpunkt liegt.