Integral Stammfunktion von z.B. 1/(ax+b) , die durch einen Punkt geht, angeben.

Question

Menge der Stammfunktion bestimmen und Stammfunktion angeben, die durch einen speziellen Punkt geht?

Spezielle Stammfunktionen von zb 1/(ax+b)

wie integriere ich das?

Comments

1/ax+b

wie soll es heißen
1/(ax) + b
oder
(1/a) * x + b
?

---

So wie auf dem bild

---

Also noch anders.
f ( x ) = 1/ ( ax + b )

---

genau.. sorry

Answer 1

eine Stammfunktion zu g(x)=1/x lautet

G(x)=LN(x)

Um eine Stammfunktion zu f(x) = 1/(ax+b)

zu finden, könnte man z.B F(x)=LN(ax+b)

testen. Leite F(x) mit der Kettenregel ab:

F'(x)=a/(ax+b)=a*f(x)≠f(x)

Es fehlt also noch der Faktor 1/a damit es passt, es ist also

F(x)= 1/a*LN(ax+b)

Comments

und wie kenne ich die menge der stammfunktionen? gibt j unendlichviele oder?

und wie geb ich die stammfunktion an die durch einen spez. punkt geht?

sorry ich weiss nur 1 frage aber habe morgen mündl abi

---

Die Stammfunktionen zu elementaren Funktionen wie Potenzfunktionen , Sinus und Kosinus sowie Exponentialfunktionen musst du auswendig lernen. Auf mehr wird in der Schule meist keinen Wert gelegt.

Dein Beispiel oben ist eine Verkettung einer Elementaren Funktion mit einer linearen Funktion, auch hierzu kann man sich die Stammfunktion merken:

Wenn F(x) zu f(x) eine Stammfunktion ist, dann ist 1/a *F(ax+b) eine Stammfunktion zu F(ax+b).

und wie geb ich die stammfunktion an die durch einen spez. punkt geht?

Alle Stammfunktionen zu einer Funktion f(x) unterscheiden sich lesiglich durch eine Konstante: F(x)+c

Wenn die Funktion nun durch einen Punkt (x0,y0) gehen soll, dann ist die Gleichung F(x0)+c=y0 nach c aufzulösen.

Answer 2

Hallo

 1/x integriert ergibt ln(x)+C

deshalb 1/(ax+b)=1/a*ln(ax+b) +C

das sieht man entweder direkt oder substituiert ax+b=u , du=a*dx oder dx=1/a*du

Gruß lul

Answer 3

Da hast du dir schon etwas komplizierteres
ausgesucht

f ( x ) = 1/ ( ax + b )

Allgemein
[ ln ( term ) ] ´ = ( term ´) / ( term )

term = ax + b
term ´ = a

Probeweise
[ ln ( ax + b ) ] ´ = a / ( ax + b )
stimmt also schon fast, wir müssen noch das " a "
noch aufheben.
[ 1/ a * ln ( ax + b ) ] ´ = 1/ a * a / ( ax + b ) =
1 / ( ax + b )

∫ 1 / ax + b  dx = 1/a * ln ( ax + b )

Answer 4

$$f(x)=\frac{1}{a\cdot x+b}\\ \int \frac{1}{a\cdot x+b} dx $$

Substituiere $$ w=a\cdot x+b\quad (1)\\ \frac{dw}{dx}=a\Leftrightarrow dx=\frac{dw}{a}\quad (2) $$

Dann ist $$ \int \frac{1}{a\cdot x+b} dx\stackrel{(1)}{=}\int \frac{1}{w}dx\stackrel{(2)}{=}\int \frac{1}{w}\frac{dw}{a}=\frac{1}{a}\cdot \int \frac{1}{w} dw=\frac{1}{a}\cdot \ln(w)=\frac{1}{a}\cdot \ln(a\cdot x+b)=:F(x) $$

Und die Menge der Stammfunktionen ist dann $$ F_C(x)=\frac{1}{a}\cdot \ln(a\cdot x+b)+C,\quad C\in\mathbb{R} $$

Und die Konstante C fällt beim Ableiten wieder weg.