Anzahl der Würfel in Abhängigkeit von der Anzahl der Schritte beschreiben. Term?

Question

ich habe die Aufgabe: „ Die Anzahl der würfeln kann in Abhängigkeit von der Anzahl der Schritte beschrieben werden. Wie viele würfeln sind im n-Ten schritt ? Finden sie zwei Terme die das beschreiben.

Meine Antwort:

Im 1. schritt sind 5 würfeln

Im 2. Schritt sind 9 würfeln

Im 3. Schritt sind 13 würfeln

Im nten schritt : 4n+1 würfeln

Ich kann aber kein 2. Term finden . Gibt es irgendwelche Tricks bei solche Aufgaben ?

Answer 1

nach dem 1. Schritt (5 Quadrate) kommt bei jedem weiteren Schritt an jeder der 4 Ecken des Kreuzes 1 Quadrat dazu.

Ein naheliegender 2. Term nach dem n-ten Schritt  ist deshalb  5 + (n-1) * 4

Gruß Wolfgang

Answer 2

du kannst es auch so betrachten. Du schaust dir die Änderung waagerecht und senkrecht an und stellst dafür zwei Terme auf.

Waagerecht:

$$ 2n+1 $$

Beim Waagerechten habe ich noch den Würfel aus der Mitte hinzugenommen, weshalb 1 dazuaddiert wird.

Senkrecht:

$$ 2n $$

Beide addiert ergibt dann $$ (2n+1)+2n=4n+1 $$

Bei $$ 4n+1 $$ betrachtet man gleich alle 4 Würfel die pro Schritt dazu kommen.

EDIT:

Du kannst auch jeden Schritt zu einem Quadrat vervollständigen und den Rest, der weg soll, wieder abziehen

$$ (2n+1)^2-4n^2=(4n^2+4n+1)-4n^2=4n+1 $$

Answer 3

Aufgabe 4c:
Mit Würfeln wurden schrittweise Würfelgebilde wie im Bild unten gebaut.
Die Abbildung stellt die ersten drei Schritte dar.
Es soll die Anzahl der Würfel in Abhängigkeit von der Anzahl der Schritte beschrieben werden. 
[Abbildung]
(1) Wie viele Würfel gibt es beim 1., 2., 5. Schritt?
(2) Wie viele Würfel sind beim n-ten Schritt sichtbar?
Stellen Sie dazu zwei verschiedene Terme auf.
(3) Erklären Sie an diesen beiden Termen die drei Aspekte der „Gleichwertigkeit von Termen“. 

zu (1): Es gibt 5, 9 bzw. 21 Würfel.

zu (2): Beim n-ten Schritt sind \(\left(1+4\cdot n\right)\) oder \(\left(\left(2\cdot n + 1\right)^2-4\cdot n^2\right)\) Würfel sichtbar.

zu (3): Welche "drei Aspekte" werden hier im einzelnen vorausgesetzt? Jeder der beiden Terme lässt sich mit den Regeln der Termalgebra in den jeweils anderen überführen. Einsetzen der Schrittzahl und ausrechnen ergibt bei beiden Termen jeweils die gleiche Würfelzahl, also etwa die Zahlenreihe aus (1).