hier geht es in erster Linie darum, die Doppelbrüche aufzulösen. Dabei erinnern wir uns, dass wir einen Doppelbruch auflösen, indem wir mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren. Dabei helfen die Hauptnenner von je Zähler und Nenner des großen Bruches
$$\frac{\frac{x-1}{x}-\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{1-x}+\frac{x+1}{x}} = \frac{\frac{x^2-1 - x^2}{x(x+1)}}{\frac{-x^2+x^2-1}{x(x-1)}}$$
$$\frac{-1}{x(x+1)}\cdot\frac{x(x-1)}{-1}$$
Das -1 und x kürzen sich nun. Es verbleibt:
$$\frac{x-1}{x+1}$$
Für den zweiten Teil funzt das genauso. Von der Größe einfach nicht abschrecken lassen:
$$\frac{\frac{r^2+s}{s}-\frac{r+s^2}{r}}{\frac{r^2+rs+s^2}{rs}}$$
$$\frac{\frac{r^3+rs - rs+s^3}{rs}}{\frac{r^2+rs+s^2}{rs}}$$
$$\frac{r^3+rs - rs+s^3}{rs}\cdot\frac{rs}{r^2+rs+s^2} = \frac{r^3+s^3}{r^2+rs+s^2}$$
Nun könnte man meinen man ist schon fertig, aber man kann tatsächlich noch weitermachen. Ich würde davon ausgehen, dass der Zähler die Gestalt \((a+b)(r^{2}+rs+s^{2}) = r^{3}+s^{3}\) hat.
Eine einfache Nullstelle kann man in der Tat schnell erkennen. Denn wenn \(r = -s\) ist der Zähler Null.
Schreiben wir obiges also als \((r-s)(r^2+rs+s^2)\) und verrechnen das (zur Probe). Wir sehen uns mit \(r^3+s^3\) bestätigt.
Folglich:
$$\frac{r^3+s^3}{r^2+rs+s^2} = \frac{(r-s)(r^2+rs+s^2)}{r^2+rs+s^2} = r-s$$
Grüße
