Alle komplexen Zahlen z ∈ C mit z quer = z^2 ?

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z ∈ C mit z quer = z^2

Kann mir einer die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben erklären danke voraus

Mein Ansatz:

x-yi=(x+yi)^2

x-yi=X^2+2xyi-y^2

Answer 1

x-yi=x²+2xyi-y²

Dann muss x = x² - y² sein und -yi = 2xyi. Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Löse es.

Comments

Wie kommt man darauf das x =x^2-y^2 ist welche Umformung mach man dort das gleiche gilt auch für die andere Gleichung welche Umformung macht man dort ?

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x ist der Realteil von x-yi

x²-y² ist der Realteil von (x+yi)² (das ist, was du mit deiner Umformung ausgerechnet hast).

Laut Aufgabenstellung muss (x+yi)² = x-yi sein. Insbesondere muss dann der Realteil der beiden Zahlen gleich sein.

Zu der anderen Gleichung kommt man, indem man den Imaginärteil betrachtet.

Answer 2

Dein Ansatz ist richtig.

Vergleiche nun Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten:

--->

1) x=x^2-y^2

2) -y=2xy

-----------------------

2') -y=2xy

-y-2xy=0

y(-1-2x)=0----->Satz vom Nullprodukt:

y₁=0 und x₁= -1/2

y₁ eingesetzt in 1):

x=x^2

0=x^2-x

0=x(x-1)

x₂=0

x₃=1

x₁ eingesetzt in 1):

-1/2= (-1/2)^2 -y^2

-1/2= 1/4 -y^2

3/4=y^2

y_2.3=±√3/2

Zusammengefasst:

x = -1/2, y = -√(3)/2

x = -1/2, y = √(3)/2

x = 0, y = 0

x = 1, y = 0

Comments

Wie kommt man darauf das x =x2-y2 ist welche Umformung mach man dort das gleiche gilt auch für die andere Gleichung welche Umformung macht man dort ?

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Vergleiche den Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten

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Hallo.

z= x+iy

Re(z)= x

Im(z)= y

Answer 3

einfacher gehts hier vielleicht mit der Exponentialdarstellung:

$$\bar z=z^2\\ re^{i(-\varphi)}=r^2e^{i(2\varphi)}\\ -->r=r^2-->r=0-->z=0\\ oder\\ r=1-->e^{i(-\varphi)}=e^{i(2\varphi)}\\ 1=e^{i(3\varphi)}-->\varphi=2\pi k/3, k=0,1,2,3$$

Comments

Ich muss genau dieselbe Aufgabe lösen und ich verstehe nicht wie ich weitermachen soll.

Also ich habe bis jetzt gerechnet:

(x+iy)(x+iy)=x-iy

Ich habe habe am Ende

x^2-y^2=x

und 2xiy=-iy bzw 2xy=-y

Aber beides ist ja nicht das gleiche..also x und y