Also es sind zwei Dinge zu zeigen:
Einmal, dass wenn \( z=\frac{w}{\overline{w} } \) gilt, das \( |z|=1 \) gilt. Das ist einfach, da gilt \( \left| \frac{w}{\overline{w} } \right| = \frac{|w|}{|\overline{w}|}=\frac{|w|}{|w|}=1\) gilt.
Wenn nun \( z\in \mathbb{C} \) mit \( |z|=1 \) ist, muss gezeigt werden, dass z eine Darstellung der Form \( z=\frac{w}{\overline{w}} \) hat. Jede Zahl \( z\in \mathbb{C}\) mit \( |z|=1 \) hat die Darstellung \( z=e^{i\varphi} \).
Jede Zahl \( w\in \mathbb{C} \) hat die Form \( w=re^{i\psi} \). Wähle nun \( \psi = \frac{\varphi}{2} \), dann gilt \( \frac{w}{\overline{w}}=\frac{re^{i\frac{\varphi}{2}}}{re^{-i\frac{\varphi}{2}}}=e^{i\varphi}=z \)
Und ich geh davon aus, dass \( \mathbb{C}^x = \mathbb{C} \) sein soll.
