Funktion 3ten Grades herleiten: Wendepunkt W(4/4)...

Question

Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades: Wendepunkt W= (4/4), Wendetangente t: y= -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0)

Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung   f(x) 1/4 x^3 -3x² +9x lautet.

Lösungsansatz:

f(4)=4  ( weil Wendepunkt als Punkt gegeben)

64a + 16b+ 4c+d=4

f`(-3)= 0
...
stimmt das soweit? wie geht es weiter?
.

Answer 1

 

die Funktion soll lauten: 

f(x) = 1/4 * x³ - 3x² + 9x

 

Polynomfunktion 3. Grades ist erfüllt.

 

Die Funktion verläuft durch den Punkt P (0|0):

f(0) = 1/4 * 0³ - 3 * 0² + 9 * 0 = 0

Auch diese Bedingung ist erfüllt.

 

Die Funktion verläuft durch den Punkt W (4|4):

f(4) = 1/4 * 64 - 3 * 16 + 9 * 4 = 16 - 48 + 36 = 4

Auch diese Bedingung ist erfüllt. 

 

Die Funktion hat an W (4|4) einen Wendepunkt, also f''(4) = 0

f'(x) = 3/4 * x² - 6x + 9

f''(x) = 3/2 * x - 6

f''(4) = 3/2 * 4 - 6 = 12/2 - 6 = 0

Auch diese Bedingung ist erfüllt.

 

Die Wendetangente t: y = -3x + 16 hat die Steigung -3, einverstanden?

Das heißt, der Wendepunkt (4|4) muss ebenfalls die Steigung -3 haben.

f'(4) = 3/4 * 4² - 6 * 4 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3

Auch diese letzte Bedingung ist erfüllt.

 

Besten Gruß 

Answer 2

1. und 2. Ableitung bilden

2. Ableitung Null setzen ergibt x-Wert der Wendestelle. x=4

Diese x=4 in ursrüngliche Funktion einsetzen  -->  ergibt y=4. Somit Wendepunkt bestätigt.

Die x=4 der 2. Ableitung in die 1. Ableitung einsetzen --> ergibt Steigungswert am Wendepunkt y=-3

Die Punkte des Wendepunkts und die Steigung m=-3 in y=mx+t einsetzen. Nach t auflösen.

t und m in die Gleichung y=mx+t einsetzen ---> ergibt y=-3x+t