Lösungsmengen bestimmen und herleiten

Question

Aufgabe:

a.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( \frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-2} \) in den reellen Zahlen.
b.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( \sqrt{4 x-14}=\sqrt{x}-\sqrt{x-6} \) im Bereich der reellen Zahlen.
c.) Leiten Sie eine Lösungsformel für die Gleichung \( a x^{2}+b x+c=0(a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq \) \( 0) \) her.

Answer 1

\( \frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-2} |\cdot(x-1)(x-2)  \)    mit \(x≠1\)    \(x≠2\)

\( \frac{x\cdot(x-1)(x-2)}{x-1}+\frac{2\cdot(x-1)(x-2) }{x-2}=\frac{(x-1)(x-2) }{x-1}+\frac{x\cdot(x-1)(x-2)}{x-2} \)

\( x(x-2)+2\cdot(x-1) =(x-2)+x\cdot(x-1) \)

Nun ausmultiplizieren.

u.s.w.

\( \sqrt{4 x-14}=\sqrt{x}-\sqrt{x-6}  |^{2}   \)

\( 4 x-14=x-2(\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{x}) +x-6  \)

\( 2 x-8=-2(\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{x})    |:(-2)\)

\( - x+4=(\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{x})   |^{2} \)   Hinweis:  \(\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{(x-6)x}\)

u.s.w.

\( a x^{2}+b x+c=0     (a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0\)

\( a x^{2}+b x+c=0  |-c\)

\( a x^{2}+b x=-c |:a\)

\(  x^{2}+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}  \)

\(  x^{2}+\frac{b}{a} x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2  \)

\(  (x+(\frac{b}{2a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a}+ \frac{b^2}{4a^2}= \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

\(  (x+(\frac{b}{2a}))^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}|\pm\sqrt{~~}\)

1.)

\(  x+(\frac{b}{2a})=\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}  \)

\(  x_1=(\frac{b}{2a})+\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}  \)

2.)

\(  x+(\frac{b}{2a})=-\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}  \)

\(  x_2=(\frac{b}{2a})-\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}  \)

Answer 2

a.) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( \frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-2} \) in den reellen Zahlen.

Mit dem Hauptnenner (x-2)(x-1) durchmultiplizieren, kürzen, ausmultiplizieren und ordnen, dann hebt sich alles auf und die Gleichung hat die Lösungsmenge ℝ.

Answer 3

b) Beide Seiten quadrieren, zusammenfassen, Wurzel isolieren, nochmal quadrieren

Lösung überprüfen, da keine Äquivalenzumformung

c) a[(x^2+ b/a*x+ (b/(2a))^2- (b/(2a))^2] + c/a = 0

= a*(x+b/(2a)^2 = (b/(2a))^2 -c/a

(x+b/(2a)^2 =  [(b/(2a))^2 -c/a]/a

Wurzel ziehen:

....

Answer 4

Aloha :)

zu a) In die Gleichung dürfen wir \(x=1\) und \(x=2\) nicht einsetzen, weil wir dann durch Null dividieren würden. Wir behalten daher \(\red{x\ne1}\) und \(\red{x\ne2}\) im Hinterkopf.

$$\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-2}\quad\bigg|-\frac{1}{x-1}$$$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{x}{x-2}\quad\bigg|-\frac{2}{x-2}$$$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}\quad\bigg|\text{Brüche auf beiden Seiten addieren}$$$$\frac{x-1}{x-1}=\frac{x-2}{x-2}\quad\bigg|\text{Brüche kürzen}$$$$1=1$$Die letzte Gleichung \((1=1)\) stellt keine Bedingung an \(x\), daher sind alle \(x\in\mathbb R\) Lösungen der Gleichung, bis auf die beiden \(x\)-Werte, die wir oben ausgeschlossen haben:$$\color{blue}\mathbb L=\mathbb R\setminus\{1;2\}$$

zu b) Alle Terme unter den Wurzeln müssen \(\ge0\) sein, das heißt:$$4x-14\ge0\quad;\quad x\ge0\quad;\quad x\ge6$$Alle 3 Bedingungen sind erfüllt, wenn \(\red{x\ge6}\) ist. Das bedeutet aber:$$x\ge6\stackrel{\cdot3}{\implies}3x\ge18\stackrel{18>14}{\implies}3x>14\stackrel{-14}{\implies}3x-14>0\stackrel{+x}{\implies}4x-14>x$$Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, heißt das weiter:$$\sqrt{4x-14}>\sqrt x$$Wenn wir die rechte Seite noch kleiner machen, indem wir \(\sqrt{x-6}\) subtrahieren, bleibt das Größer-Zeichen gültig, sodass:$$\sqrt{4x-14}>\sqrt x-\sqrt{x-6}\quad\text{für }x\ge6$$Es können also nie beide Seiten gleich sein und die Gleichung hat keine Lösung.$$\color{blue}\mathbb L=\{\}$$

zu c) Wir suchen die allgemeine Lösung der Gleichung:$$ax^2+bx+c=0\quad\text{mit }a\ne0$$Da \(a\ne0\) ist, dürfen wir durch \(a\) dividieren:$$x^2+\frac ba\cdot x+\frac ca=0\quad\big|-\frac ca$$$$x^2+\frac ba\cdot x=-\frac ca$$Die Idee ist nun, die Gleichung so umzuschreiben$$x^2+\underbrace{2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x}_{2\cdot d\cdot x}+\underbrace{\boxed{\phantom M}}_{d^2}=-\frac ca+\underbrace{\boxed{\phantom M}}_{d^2}$$dass wir links die erste binomische Formel verwenden können.

Wir wählen daher \(d\coloneqq\frac{b}{2a}\) und addieren auf beiden Seiten das Quadrat \(d^2\):$$x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\quad\big|\text{1-te binomische Formel}$$$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca+\frac{b^2}{4a^2}\quad\big|\text{rechte Seite auf einen Bruch bringen}$$$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{\pink{4a}\cdot c}{\pink{4a}\cdot a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\quad\bigg|-\frac{b}{2a}$$$$\color{blue}x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\quad\text{falls }\;b^2-4ac\ge0$$

Beachte, dass nur dann Lösungen existieren, wenn der Term unter der Wurzel \(\ge0\) ist bzw. wenn der Zähler des Bruches \(\ge0\) ist.