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In der euklidischen Ebene ℝ² seien folgende Punkte gegeben:

$$\left( \begin{array} { l } { - 3 } \\ { - 4 } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { c } { - 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 3 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 4 } \\ { 5 } \end{array} \right)$$

1) Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate die Ausgleichsgrade y=α+βx zu diesen Punkten.

2) Berechnen Sie den Abstand der Ausgleichsgrade vom Ursprung.


Diese Aufgabe habe ich erst händisch, dann mit nem Spreadsheet zu lösen versucht:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vSVsmxafZ58KCysCfodh3IeQyPVwN_uePOAuPQbFCsvt8dBi3yBJjbWTooZcCihKADb9gGEv-9HwKuh/pubhtml

demnach wäre die Geradengleichung:

y = 42/146 + 187/146x

Da es sich um eine Klausuraufgabe handelt und wir keinen Taschenrechner benutzen dürfen, bin ich mir unsicher ob das so gewollt ist, insbesondere, da die Gerade einen nicht grad optimalen Eindruck macht:

ugly.jpg

Mein Ansatz zur Lösung war folgender:

\( μ \begin{pmatrix} -\frac{187}{146}\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac{42}{146} \end{pmatrix} + λ·\begin{pmatrix} 1\\ \frac{187}{146} \end{pmatrix} \)

allerdings unterlaufen mir dabei Fehler, wie es scheint.


Wisst ihr eventuell wie sich diese Aufgabe eleganter lösen ließe?

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ich folge den Formeln von wikipedia

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate

und erhalte dieselbe Ausgleichs gerade wie du. Schlecht sieht die doch nicht aus ;).

Der kürzester Abstand ergibt sich über eine orthogonale Verbindung. Die orthogonale Gerade durch den Ursprung lautet

g(x)=-146/187 *x

Bestimme den Schnittpunkt von g und f.

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