Steigungsfunktion Parabel berechnen/ableiten

Question

Ich muss die Steigungsfunktion für die Gleichung f(x)=x^2+2x berechnen (also am Ende soll da f‘(x)=... stehen). Nur leider weiß ich wegen dem linearen Glied nicht wie ich vorgehen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Steigung der Parabel mit der Gleichung f(x)= x^2+2x berechnen

Stichworte: steigung,parabel,tangente,funktion

f(x)= x²+2x

Ich habe diese Gleichung bekommen und soll jetzt die Steigung dazu berechnen nur leider weiß ich gar nicht wie ich vorgehen soll. Hatte bisher nur f(x)=x² und f(x)=ax²

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Hatte bisher nur f(x)=x^{2 } und f(x)=ax^{2}

Was genau hattest du zur Steigung von diesen beiden Funktionen?

Tipp: Nenne nicht alle Funktionen einfach f , da besteht Verwechslungsgefahr. Es gibt auch andere Buchstaben: Bsp. g, h, …

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Zu den beiden genannten Parabeln hatte ich die Steigung ausgerechnet und habe es auch verstanden, nun hat meine Lehrerin uns bloß eine neue Gleichung gegeben (die oben angegeben ist) und nun sollen wir von dieser die Steigung berechnen, jetzt weiß ich aber wegen dem linearen Glied nicht wie ich vorgehen soll

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Wie habt ihr bisher die Steigung berechnet?

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Wir sind bei f(x)=x^2 zu dem Ergebnis gekommen dass die Steigungsfunktion f‘(x)=2x wäre. Das selbe jetzt bitte nochmal für f(x)=x^2+2x

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Wir haben die Steigung hergeleitet. Mithilfe einer tangente

Answer 1

Mit den Ableitungsregeln

• f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
• f(x) = c·g(x) ⇒ f'(x) = c·g'(x)
  
• f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x)

kommt man auf

        f'(x) = 2x + 2.

Ohne Ableitungsregeln muss man auf den Differenzenquotienten zurückgreifen:

\(\begin{aligned}f'(x) & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\left((x+h)^{2}+2(x+h)\right)-\left(x^{2}+2x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\left(x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h\right)-\left(x^{2}+2x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h-x^{2}-2x}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\left(2x+h+2\right)h}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\left(2x+h+2\right)\\ & =2x+2\end{aligned}\)

Answer 2

Ursprüngliche Version der Frage:

Titel: Steigung der Parabel mit der Gleichung f(x)= x2+2x berechnen

Stichworte: steigung,parabel,tangente,funktion

f(x)= x^{2}+2x

Ich habe diese Gleichung bekommen und soll jetzt die Steigung dazu berechnen nur leider weiß ich gar nicht wie ich vorgehen soll. Hatte bisher nur f(x)=x^{2 }und f(x)=ax^{2}



Zu den beiden genannten Parabeln hatte ich die Steigung ausgerechnet und habe es auch verstanden,

f(x)= x^{2}+2x

= x^{2}+2x + 1 - 1

= (x+1)^2 -1 .

Parabel mit Scheitelpunkt S(-1 |-1)

Die Verschiebung um 1 nach links hat einen Einfluss auf die Steigung an der Stelle xo.

Die Verschiebung um 1 nach unten ändert an der Stelle xo nichts mehr an der Steigung.

Über diesen Umweg kannst du zur Steigung des Graphen von f kommen.

Nachtrag: Du hast noch nicht verraten, was du mit der Steigung von g(x) = x^2 und von h(x) = ax^2 genau meinst und wie du sie ausgerechnet hast. Bei f(x) kannst du auch nochmals gleich vorgehen, wenn du die Verschiebung der Kurve und das gefundene Resultat nicht nutzen möchtest. 

Comments

Danke, aber das ist leider nicht was ist brauche. Ich brauche ‚m‘ also die Steigung. Wir sollen die Steigungsfunktion von der 1. Gleichung berechnen. Das heißt am Ende muss da f‘(x) stehen. Und die anderen beiden haben nichts mit derparabel zutun. Das ist eine neue Aufgabe ich wollte nur zeigen, was ich schon gemacht habe. Den Namen die Steigungsfunktion wäre ja f‘(x) = 2x(bei der Funktion f(x)=x^2. das selbe(also die Steigungsfunktion) soll ich jz ausrechnen.

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Du musst schon sagen, wie ihr das gemacht habt. h-Methode, Diskriminante D = b^2 - 4ac bei quadratischen Gleichungen, delta-x für die Stelle xo oder was?

Inzwischen hast du wenigstens verraten, dass du eine Steigungsfunktion suchst und nicht eine Steigung m. Es ist ja eine Parabel und die hat nicht überall die gleiche Steigung.

Ausserdem habe ich dir verraten, wie die Steigungsfunktionen von x^2 und x^2 + 2x zusammenhängen.

Du kannst also eine geeignete Verschiebung von g'(x) = 2x erfinden und bist fertig, ohne dass du nochmals die verschwiegene Methode aus dem Unterricht benutzt hast.

Skizze:

~plot~ x^2; x^2 + 2x; 2x; 2x + 2 ~plot~

Answer 3

$$\begin{aligned} f(x) &= x^{2}+2x \\[12pt] f'(x) &= \lim\limits_{a\to x} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \\[10pt]       &= \lim\limits_{a\to x} \dfrac{x^{2}+2x -\left(a^{2}+2a\right)}{x-a} \\[10pt]       &= \lim\limits_{a\to x} \dfrac{x^{2}-a^2+2x -2a}{x-a} \\[10pt]            &= \lim\limits_{a\to x} \dfrac{x^{2}-a^2}{x-a} + \lim\limits_{a\to x} \dfrac{2x -2a}{x-a} \\[10pt]            &= \left(\dfrac{x^{2}-a^2}{x-a}\right)' + \left(\dfrac{2x -2a}{x-a}\right)' \\[10pt]            &= 2x + 2. \end{aligned} $$In dieser Rechnung habe ich, obwohl leicht möglich, die letzten beiden Limiten nicht berechnet, da sie ja bereits vorher bekannt waren. Die Summenregel habe ich nicht benutzt, die Rechnung zeigt aber, wie man sie beweisen könnte.