Satz über implizite Funktionen im R^3 anwenden.

Question

ich wusste nicht, was für nen Titel ich wählen sollte.. hoffe das geht so in Ordnung.

es geht um diese Aufgabe:

Teil 1:

Also ich habe erstal Die jacobi matrix gebildet. jeweils nach (u,v) und dann den Punkt (1,1,1,1,1) eingesetzt. Die Determinante war dann != 0 und ist soweit in Ordnung glaub ich mal...

Teil 2:

Nun habe ich die Jacobi gebildet, indem ich nach x,y,z ableite. Habe hier den Punkt wieder eingesetzt und bekam die Folgende Matrix raus. (siehe Bild ganz unten). gesucht ist nun \(\frac{dv}{dy} (1,1,1)\).

Ich weiß nicht mehr weiter. aber ich muss wahrscheinlich etwas mit der zuvor ausgerechneten Matrix machen.  oder soll ich jetzt diese matrix \(\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) einfach nach y ableiten und (1,1,1) einsetzen?

mfg

Comments

vielleicht f' durch mehrd. kettenregel bilden... nur dann verstehe ich nicht genau wie das gehen soll? weil wie soll ich bitte bei 5 variablen mehrd. kettenregel anwenden? mfg

---

Wenn Du die erste Gleichung ableitest erhältst Du

Answer 1

Du leitest die beiden Gleichungen nach y ab. (Produktregel und Kettenregel beachten).

In das Ergebnis setzt Du bis auf die Abletungen ∂u/∂y und ∂v/∂y den Punkt (1,1,1) ein. Dann hast Du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und kannst ∂u/∂y und ∂v/∂y ausrechnen. Kannst ja mal Deine Ableitungen schicken.

Comments

also ich verstehe nicht was du genau meinst... wenn ich nach y ableite kommt das raus:

erste

2x^2*y+v^2

und die zweite nach y

1

wie soll ich da (1,1,1) einsetzen?

---

welche gleichungen meinst du?

mfg

---

u und v sind keine Konstanten

---

erste Ableitung:

$$2x^2y+ z\frac{∂u}{∂y} +v^2+2yv\frac{∂v}{∂y}=0$$

---

wie kommt dieser teil zustande? \(2yv\frac{∂v}{∂y}\)

ich hätte das als dv²/dy gemacht... also ist die regel, dass man das ^2 bei v k auch für y nutzen kann? also y^2 -> 2y... aber wieso nochmal v davor? ok ich rechne mal kurz die ableitung der 2. zeile aus...

---

also die Zweite Zeile ist so: (ich kann das nicht mit wolfram überprüfen, da u v als konstante gesehen werden:

\(1+2x\frac{∂v}{∂y}-\frac{∂u^2}{∂y}\frac{∂v^2}{∂y}\)

und in beide den punkt (1,1,1) eingesetzt kommt folgendes:

\(2+ \frac{∂u}{∂y} +v^2+2v\frac{∂v}{∂y}=0\)

\(1+2\frac{∂v}{∂y}-\frac{∂u^2}{∂y}\frac{∂v^2}{∂y}=0\)

jetzt weiß ich wieder nicht wie es weitergeht... wenn ich nach dv/dy umforme bleibt noch du/dy... was mache ich damit?

mfg

---

ok habe nicht nachgedacht... dv/dy ist nicht das problem.. ich kann ja danach umformen und in die zweite einsetzen.. aber was ist mit v und v^2?

mfg

---

Zu Deiner ersten Frage:

Du leitest yv² nach y ab. Da v eine Funktion im y muss Du die Produktregel und Kettenregel anwenden:

$$(yv^2)'=v^2+y*2v*\frac{∂v}{∂y} $$

Deine zweite Zeile ist dann natürlich auch falsch. Auch hier wieder Produkt- und Kettenregel. Versuch es nochmal und schick mir die Lösung !!!

Dann setzt DU für die x,y,z,u,v 1 ein und hast nur noch die partiellen Ableitungen $$\frac{∂u}{∂y} $$ und $$\frac{∂v}{∂y} $$ in einem Gleichungssystem mit zwei Unbekannten dran stehen.

---

ganz kurz bevor ich die ganze rechnung reinschreibe... ist die ableitung richtig?

$$2+ 2x\frac{∂v}{∂y} -2\frac{∂u}{∂y}v^2+u²*2\frac{∂v}{∂y}=0$$

mfg

---

$$ 1+2x \frac{∂v}{∂y}−2u\frac{∂u}{∂y}v^2+2u²v\frac{∂v}{∂y}=0 $$

---

hey,

also die 2 am anfang ist n tippfehler von mir... aber die ableitung von u^2·v^2 verstehe ich leider nicht... der erste teil der P.R. ist klar... (u' * v) + u * v'... aber v' verstehe ich nicht... aber egal das ist nur nebensache...

ich denke ich habe irgendwo nen VZ Fehler, so dass statt 1/4.. 1/7 kommt...

mfg

---

Sorry. Vorzeichenfehler von mir. In der Ableitung der zweiten Zeile muss das letzt Plus ein Minus sein.

---

ah ok.. ich hatte auch nen fehler...das passt jetzt :D danke sehr!!!

wie aber kommt ein minus dahin? also -2u²*v*dv/dy am ende? (das ist aber auch die letzte frage :D)

mfg

---

Hier nochmal die zweite Zeile:

$$ 1+2x \frac{∂v}{∂y}−2u\frac{∂u}{∂y}v^2-2u²v\frac{∂v}{∂y}=0 $$

und hier die Ableitung des letzten Gliedes. Produktregel und Kettenregel.

$$ (-u^2v^2)' = -(2u\frac{∂u}{∂y}v^2+2v\frac{∂v}{∂y}v²) $$

---

achso ja das minus ist ja von - (u²v²) xD und dann u² durch kettenregel ableiten... 2u*u' also... ok habs jetzt verstanden... vielen vielen dank!!... ich habe in der zwishcezeit andere aufgaben gemacht und das hat mich verwirrt und hatte dumme fehler... bitte deshalb um verständnis.

danke nochmal :D

---

Oh,

$$(-u^2v^2)' = -(2u\frac{∂u}{∂y}v^2+2v\frac{∂v}{∂y}u²)$$

natürlich