Parabeln. Scheitelpunkt und Nullstellen berechnen. Was ist falsch? Bsp. f(x) = x2 + 6x + 5

Question

kann mir dabei jemand helfen? Wo genau liegen meine Fehler? Ich habs echt oft versucht, aber verstehe das einfcah nicht :(

Am besten waere es, wenn mir jemand meine rechnung komplett richtig aufscreiben koennte, ich brauch da echt hilfe

Comments

Achte auf die Darstellung

(-10 | 10) bezeichnet einen Punkt im Koordinatensystem und nicht zwei Nullstellen! Damit ist das auf jeden Fall falsch (auch wenn du richtig gerechnet hättest) .

Du könntest schreiben: Die Nullstellen von f sind  x₁ = -10 und x₂ = 10 .

Oder die Gleichung x² + 6x + 5 = 0 hat die Lösungsmenge L = { - 10, 10 } . Mengenschreibweise mit geschweiften Klammern. 

Answer 1

f(x) = (x+3/2)²- 4

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Comments

Wieso 3/2? Und wieso -4?

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1. binom. Formel! (a+b)²

-(6/2)²+5 = -9+5 = -4

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Aber ich hab mut der 2. Bi fo gerechnet, so muss das

Answer 2

betrachte es vielleicht mal im allgemeinen Fall.

$$f(x)=x^2+p\cdot x+q=\Big(x+\frac{p}{2}\Big)^2-\Big(\frac{p}{2}\Big)^2+q\\=\Big(x+\frac{p}{2}\Big)^2-\Bigg(\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q\Bigg)=x^2+2\cdot \frac{p}{2} \cdot x+\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-\Big(\frac{p}{2}\Big)^2+q\\=x^2+p\cdot x+q$$

Zu deiner Aufgabe

$$f(x)=x^2+6\cdot x+5\\ p=6\\q=5$$

Dann hast du diese Scheitelpunktform:

$$f(x)=x^2+6\cdot x+5=\Big(x+\frac{6}{2}\Big)^2-\Bigg(\Big(\frac{6}{2}\Big)^2-5\Bigg)=(x+3)^2-4.\\S(-3|-4)$$

Nullstellen:

$$x^2+6\cdot x+5=(x+3)^2-4=0\quad |+4\\(x+3)^2=4\quad |\sqrt{}\\(x+3)=\pm2\\x_1+3=2\Leftrightarrow x_1=-1\\x_2+3=-2\Leftrightarrow x_2=-5$$

Comments

oder mit Vieta:

(x+1)(x+5)= 0 (kann man sofort erkennen) :)

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Das ist ja viel komplizierter als meine Lösung D:

Ich verstehe nicht, wo gangz genau liegt bei meiner rechnung jetzt der fehler?

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Dein Rechenfehler liegt bei $$-\Big(\frac{6}{2}\Big)^2+5$$ Es ist nicht -14 sondern

$$-\Big(\frac{6}{2}\Big)^2+5=-9+5=-4$$

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EDIT:

Und du schreibst in der dritten Zeile statt (x+6/2)², (x-6/2)², was auch nicht zum richtigen Ergebnis führt.

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Qlso liegt der Scheitelpunkt bei -3/-4?

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Ja, genauso ist es.

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Und wieso kommen da jetzt wieder die falschen nullstellen raus? :(

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Du wendest die dritte binomische Formel falsch an!

Es muss so lauten:

$$f(x)=(x+3)^2-4=\Big((x+3)+2\Big)\cdot \Big((x+3)-2\Big)\\=(x+5)\cdot (x+1)\\x_1=-5\\x_2=-1$$

Answer 3

Übrigens

Nullstellen von f(x) = x² + 6x + 5 ? 

x² + 6x + 5 = 0  | mit Vieta direkt faktorisieren! 

(x+1)(x+5) = 0 , Grund 1*5 = 5 und 1+5 = 6

Lösungen ablesen: x₁ = -1 und x₂ = -5 sind Nullstellen von f.

Den Scheitelpunkt habe ich hier noch nicht. Aber seine x-Koordinate ist in der Mitte zwischen x₁ = -1 und x₂ = -5. D.h. x_s = (-1 + (-5))/2 = - 3

Nun noch y_s = (-3)² + 6 * (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

Also Scheitelpunkt S(-3 | -4) . 

Skizze zur Kontrolle:

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f₁(x) = x²+6x+5P(-3|-4)x = -5x = -1