Beweisen Sie ∑ (k = 1 bis n) k^2= n/6 (n+1)(2n+1) für jedes n ∈ ℕ

Question

Beweisen Sie $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1) $$ für jedes n ∈ ℕ

Comments

Der Induktionsschritt könnte etwa so aussehen:
∑_k=1,...,n+1k²=(n+1)²+1/6·n(n+1)(2n+1)
=1/6·(n+1)·(6(n+1)+n(2n+1))
=1/6·(n+1)(2n²+7n+6)
=1/6·(n+1)(n+2)(2n+3)✓

Answer 1

Hallo

 sowas beweist man mit vollständiger Induktion. fang mal an, und sag, wo du nicht weiter kommst.

gruß lul

Comments

Induktionsanfang:

$$ Sei\quad n=1.\quad Dann\quad ist:\\ \\ \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ 1^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 6 } 1(1+1)(1n+1)\\ 1=\frac { 6 }{ 6 } \quad ->\quad 1=1 $$
Die Aussage ist für n=1 wahr.

Induktionsschritt:

Wenn  die Aussage für n gilt, dann gild diese auch für n+1.

$$Sei\quad n+1.\quad Dann\quad ist:\\ \\ \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { k }^{ 2 }\quad +{ (n+1) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 6 } (n+1)(n+2)(2n+3)\\ \\ Es\quad folgt,\quad dass\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { k }^{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 6 }  } n(n+1)(2n+1)\\ \\ Also:\quad \frac { 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1)\quad +\quad { n }^{ 2 }+2n+1=(\frac { 1 }{ 6 } n+\frac { 1 }{ 6 } )(n+2)(2n+3)\\ =>\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 6 } { n }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } n+\frac { 1 }{ 6 } +{ n }^{ 2 }+2n+1=\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } { n }^{ 2 }+\frac { 2 }{ 3 } { n }^{ 2 }+n+\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } n+\frac { 2 }{ 3 } n+1\\ =>\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }+\frac { 7 }{ 6 } { n }^{ 2 }+\frac { 7 }{ 3 } n+\frac { 7 }{ 6 } \neq \frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } { n }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 6 } n $$
Wo liegt der Fehler? :/

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Hallo

 deinen Fehler zu finden ist mir zu mühsam, nachdem du (n+1)^2 addiert hast multiplizier nicht aus, sondern klammere als erstes 1/6*(n+1) aus und berechne nur den Rest, also (n*(2n+1)+6n+6) dann ist es viel schnellerund weniger fehler anfällig.

 bei so was immer ausklammern, was man sowieso im Ergebnis erwartet!

Gruß lul

Answer 2

Mache es mit vollstänndiger Induktion.

Hier mal ein Link, wie das abläuft:

https://www.mathelounge.de/552657/vollstandige-induktion