Verstehe nicht wie ich die Nullstelle dieser Funktion berechne:

Question

könnte mir vielleicht jemand erklären, wie ich die Nullstelle dieser Funktion berechne?

f(x)=x-4x^{-1}+2xln(x)

danke im voraus

Comments

Wo hast du denn diese Funktion her?

Answer 1

du kannst die Nullstellen dieser Funktion nicht analytisch bestimmen, sondern nur numerisch, z.B mit dem Newton-Verfahren:

$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\f(x)=x-\frac{4}{x}+2\cdot x\cdot \ln(x)\\f'(x)=1+\frac{4}{x^2}+2\cdot \ln(x)+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=1+\frac{4}{x^2}+2\cdot \ln(x)+2\\=3+\frac{4}{x^2}+2\cdot \ln(x) $$

Du brauchst hierfür einen Startwert x_1. Am besten ist es einer, der schon recht dicht an der Lösung liegt. Das kannst du per Probeeinsetzung gut ermitteln. Hier wäre er zum Beispiel bei x=1 oder x=1.5. Dann setzt du das in die Formel oben ein und verwendest das Ergebnis, um es wieder in die Formel einzusetzen. Das kann man so 5 mal machen, denn dann ist man schon verdammt nah am Ergebnis.

Also

$$ x_1=1\\x_2=1.4285714285714286\\ x_3=1.490678880076419\\ x_4=1.4911093373920306\\ x_5=1.4911093551478354\\ x_6=1.4911093551478354 $$

EDIT: Du kannst die Gleichung $$ 0=x-\frac{4}{x}+2\cdot x\cdot \ln(x) $$ halt aus dem Grund nicht lösen, weil x auch im Logarithmus drinsteckt, sodass du nicht durch algebraische Operationen x isolieren kannst.

Answer 2

"Berechnen" ist vielleicht nicht so einfach, aber

näherungsweise kommt man ganz gut ran.

Wegen ln ist die Sache nur für x>0 definiert.

Die Ableitung  2ln(x) + 4/x^2 + 3

hat einen Tiefpunkt bei (2; 5,34 ) , ist also immer positiv

und damit ist f streng monoton steigend.

Wegen f(1) = -3 und f(2) = 2,8

liegt die einzige Nullstelle zwischen 1 und 2.

Mit f(1,5) = 0,05  ist man schon ziemlich nah dran.

Answer 3

Wie -> das hängt vom vorausgesetzten Wissensstand ab:

a) vor über 600 Jahren, als man noch nicht ableiten konnte:

Bisektion (lese bei Wikipedia -> eine Art Probieren durch Bereichshalbierung) -> ergibt mit dem Iterationsrechner:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm nach 45 Schritten etwa 14 richtige Nachkommastellen:

Zunächst allgemein mit e und Pi statt 4 und 2:

Bei Dir ist E nun 4 und Pi ist 2, was leichte Änderung ergibt:

b) kurz vor dem Jahre 1700 gabs https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren , welches mit Ableitung funktioniert:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#x-E/x+PI*x*log(x)@Na=0;@B0]=1;//Startwert@Nb=@Bi];a=@Bi+1]=b-Fx(b)/@Lb);@N@Aa-b)%3C4e-12@N1@N0@Nc=@Q29);

hier sind nur 4 Schritte nötig. (LINK beinhaltet bereits alle Parameter)

Bei Dir ist E nun 4 und Pi ist 2, was

  ergibt.

c) Heute ist die elementare Funktion LambertW(n,x) als Umkehrfunktion von x*e^x bekannt:

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

x[n] = e^{1/2*LambertW(n,(2 e^{1 + 2/Pi})/Pi) - 1/Pi} ,n=-1...1 {also 3 Lösungen}

n | x[n]
----------
-1| -0.4147267156494321526805350203325 - 0.4473881564589946659329556046.. i
0 | 1.2573454004530476685095713076836...
1 | -0.4147267156494321526805350203325 + 0.4473881564589946659329556046.. i

Probe mit x-e/x+Pi*x*ln(x) ergibt für alle 3 x das richtige Ergebnis 0.

 E nun 4 und Pi ist 2 ergibt

e^{1/2 W((2 e^{2/2}*4)/2) - 1/2}
=e^{1/2 W(4 e) - 1/2}
=e^{1/2 (W(4 e) - 1)}

x[n] = e^{1/2*(LambertW(n,4*e)-1)},n=-1...1 als Wertetabelle:
n | x[n]
-1| -0.6855221394300707493671270485448 - 0.58338247385457428273002381 i
0 | 1.491109355147835471047182943610787
1 | -0.6855221394300707493671270485448 + 0.58338247385457428273002381 i

ergibt x-4/x+2*x*log(x) für alle 3 x das richtige Ergebnis 0.

Wenn Du mehr Nachkommastellen benötigst, melde Dich (1000 Stück sind kein Problem).

Im letzten LINK findet man unten einige Rechner, die die Funktion LambertW kennen.
Lehrer ignorieren diese Funktion, obwohl sie seit Jahren bekannt ist und bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

aufgelistet wird.