Funktion- Extrempunkt etc.

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=1/9x^3-1/6x^2-2×

a) Berechnen Sie,in welchen Punkten der Graph von f die Koordinatenachsen schneidet.

b) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von f.

c) Die Tangente t, die durch den Punkt P(4|f(4)) des Graphen von f verläuft, schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Kann mir jemand bitte für die ganze Aufgabe einen ausführlichen Rechenweg schicken. Ich will es so einfach nochmal besser nachvollziehen können. Vielen

Answer 1

a) Berechnen Sie,in welchen Punkten der Graph von f die Koordinatenachsen schneidet:$$f(x)=\frac{1}{9}x^3-\frac{1}{6}x^2-2x$$ Nullproduktsatz anwenden und faktorisieren:$$f(x)=x\underbrace{\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{6}x-2\right)}_{\text{Quadratische Gleichung}}  \quad |x_1=0$$$$f(x)=\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{6}x-2$$ Daraus erhält man die Nullstellen \(x_2=-3.558\) und \(x_3=5.058\). Die Schnittstelle mit der \(y\)-Achse ist demnach \(S_y(0|0)\).

b) Die Tangente t, die durch den Punkt P(4|f(4)) des Graphen von f verläuft, schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Erste Ableitung bilden:$$f'(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-2$$ Um die Steigung an der Stelle \(x=4\) zu ermitteln, setzen wir den Wert in die Ableitung ein \(f'(3)= 2\). Nun einfach in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen:$$-\frac{32}{9}=2\cdot 3+n \longrightarrow n=-\frac{86}{9}$$  Wir haben also die Tangente:$$t(x)=2x-\frac{86}{9}$$