Wie funktioniert die trigonometrische Substitution?

Question

Ich soll das folgende Integral berechnen :

f(x) = (1)/(x²+1))²

Ich denke ich muss eine trigonometrische Substitution durchführen, da ich das Integral so mit dem herkömmlichen Regel nicht lösen kann. Das Problem ist ich habe keine Ahnung wie ich das angehen sollte. Hilft vielleicht der trigonometrische Pythagoras sin²(a)+cos²(a) = 1 ?

Comments

Genau,

Reduktionsformel anwenden und dann das Standardintegral für $\arctan(x)$ lösen.

Answer 1

Substituiere

x= tan(z)

Du kommst dann auf das Integral

=∫cos²(z) dz , was Du dann lösen kannst.(z.b mit partieller Integration). Das geht aber auch noch anders. cos²(z)=1/2 (cos(2z) +1), ohne part. Integration.

x= tan(z)

dx/dz= 1/(cos²(z) =1+tan²(z)

dx=(1+tan²(z)) dz

eingesetzt:

=∫ 1/(tan²(z) dz

=∫ cos²(z) dz

usw.

Comments

Ich verstehe leider nicht was mit dem tan(z) passiert. Ich weiß, dass tan(z) = (sin(z))/(cos(z)), aber wie kommt man auf das erste Integral?

Ich konnte bis jetzt nur das Integral 1/(1-x²) mit x = sin(u) lösen :(.

Answer 2

https://www.integralrechner.de/