Ganzzahliges Intervall bestimmen?

Question

Ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich ein ganzzahliges Intervall bestimmen soll, nur hab ich absolut keine Ahnung was damit gemeint sein soll bzw. wie man es löst. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Dankeschön :)

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f(x) = 6x•e^-0,25x und g(x) = 24•e^-0,25x

e) Bestimmen Sie ein ganzzahliges Intervall [x; x + 1], in welchem das Gefälle von f den Wert -0,25 annimmt.

Answer 1

bestimme f' und setze es mit -0,25 gleich. Also

$$ f'(x)=6e^{-0,25x}-1,5xe^{-0,25x}=e^{-0,25x}(6-1,5x)=-0,25 $$

Comments

Ich habe als Intervall jetzt [25/6;25/6 + 1] raus. Ist das in irgendeiner Weise richtig?

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Wie bist du drauf gekommen?

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6-1,5x = -0,25 | -6

-1,5x = -6,25 | :(-1,5)

x = 25/6

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Leider falsch. Du rechnest grad mit einer völlig anderen Gleichung. Du sollst aber mit

$$ e^{-0,25x}(6-1,5x)=-0,25 $$ rechnen.

Also $$ e^{-0,25x}(6-1,5x)=-0,25\quad |+0.25\\d(x):=e^{-0,25x}(6-1,5x)+0,25=0 $$

Das ganze ist aber nicht algebraisch lösbar. Eigentlich schon, da es die Lambert W-Funktion gibt, mit der man dann auch Gleichungen solcher Art expliziet lösen kann. Dumm ist nur, dass sie in den meisten heutigen Taschenrechnern noch nicht implementiert ist, bzw. ich kein Modell kenne, der es implementiert hat.

Aber hier geht es sogar nicht um die exakte Lösung, da du ein Intervall angeben musst, bei dem deine Gleichung 0 wird. Es reicht also, dass du dir ein ganzzahliges x nimmst, was nah an der Nullstelle ist und rechnest auf dieses x noch +1 drauf. Denn so gilt nämlich d(x)>0 und d(x+1)<0. Dann kann man nämlich nach dem Zwischenwertsatz argumentieren, dass es mindestens eine Lösung gibt, die die Gleichung löst. Fertig!