Fortsetzbarkeit von gew. DGLs unter allgemeiner Bedingung

Question

Ich sitze nun schon seit einigen Tagen an folgender Aufgabe:

Betrachte eine DGL \(\dot{x} = f(t,x)\) erster Ordnung, wobei \(f(t,x)\) auf ganz \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) definiert ist.

Zeige: Wenn ein \(R > 0\) existiert, sodass \(xf(t,x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)  mit \(|x| > R \) gilt, dann existieren alle Lösungen der DGL auf ganz \((0,\infty)\).

Meine bisherigen Ansätze waren

- Beschränktheit der Lösung zeigen

- "Lineare Beschränktheit der rechten Seite" zeigen

Leider bin ich in beiden Fällen in eine Sackgasse geraten bzw. nicht weiter gekommen. Ich bin für jeden Tipp wie ich das angehen könnte dankbar.

Comments

Weiß man noch irgendetwas über \(f\)? Ist \(f\) stetig? Erfüllt \(f\) eine Lipschitz-Bedingung?

Sonst denke ich, wird es schwierig, da dann die Voraussetungen der üblichen Sätze, die man da verwenden könnte, eventuell nicht erfüllt sind.

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Oh, das habe ich vergessen dazuzuschreiben - \(f\) ist Lipschitz-stetig bzgl. \(x\).

Answer 1

https://books.google.de/books?id=YIafBgAAQBAJ&pg=PA70, Satz VII.

Entscheidend ist: Die nicht fortsetzbare Lösung \(\phi\) kommt nach rechts dem Rand von \(D\) beliebig nahe. Was das heisst, steht auf der Folgeseite. Genau einer der drei Faelle (b), (c) oder (d) liegt vor. Erkenne, welcher Fall zur Aufgabe gehoert, und schliesse dann die anderen beiden aus, indem Du genau das verwendest, was ueber \(f\) bekannt ist.

Comments

Danke für die Antwort. Dieser Satz ist mir (in einer ähnlichen Form) bekannt. Genau deshalb wollte ich versuchen, die Beschränktheit von \(f\) zu zeigen. (also in diesem Kontext Fall (c) auszuschließen). Leider scheitere ich daran.

Fall (d) auszuschließen ist relativ klar, da \(D = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) in diesem Beispiel ja keinen Rand hat.

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Ich moechte mal wissen, was Du in den "einigen Tagen" gemacht hast. Die Bedingung an \(f\) aus der Aufgabe bedeutet \(\dot{x}=f(t,x)<0\) falls \(x>R\) und \(\dot{x}=f(t,x)>0\) für \(x<-R\). Wenn \(x=x(t)\) den Streifen \(\mathbb{R}\times[-R,R]\) nach oben verlaesst, wird \(x\) monoton fallend, und wenn es ihn nach unten verlaesst monoton wachsend. Ist doch klar, dass da \(x\) nie unendlich werden kann und der Fall (c) ebenfalls widerlegt ist.

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Selbstverständlich habe ich mich nur Differentialgleichungen gewidmet und nicht geschlafen :) 
Okay, Scherz beiseite. Ich habe mich wohl zu sehr in die Aufgabe verfressen und den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Vielen Dank für die detaillierte Erklärung!