Mengenlehre, Berechnung zur Menge X={(x,y) ∈ R² I IyI+IxI<=5 }

Question

Wenn man folgende Menge hat:
X={(x,y) ∈ R² I IyI+IxI<=5 }

IyI<=5-IxI

Man setze für x=10 ein.

IyI<=5-I10I

IyI<=-5

Wieso ist aber x=10 und IyI=-5 nicht in der Menge enthalten.

Laut der Rechnung gilt doch:

-5<=-5

Comments

Nenne uns doch bitte mal eine reelle Zahl y die

$$|y| = -5 $$

erfüllt.

Answer 1

Hallo Probe,

Laut der Rechnung gilt doch:
-5 <= -5

laut Rechnung müsste  |y| ≤ -5   gelten

|y| ist aber nie negativ. Ein solches y gibt es deshalb nicht.

Also gibt es für x=10 kein passendes y, so dass die Bedingung   |x| + |y| ≤ 5 erfüllt ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke.

IyI <= -5   I Quadrierem

y² <= 25

y<= +-5

Theoretisch könnte man das ja lösen, aber das macht kein Sinn oder?

Mathematisch richtig wurde ja aber gerechnet..

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Leider nicht :- )

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!

Aus  y² <= 25   folgt nicht  IyI <= -5

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Schau mal bitte unter b)

https://www.mathebibel.de/betragsungleichungen

:)

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|x+1| < 3

⇔   |x+1|² <  3²

Wenn - wie hier - beide Seiten einer Gleichung nicht negativ sind, ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung.

Bei einer Ungleichung mit < (≤)  ist das dann auch der Fall, weil die Quadratfunktion in ℝ₀⁺  streng monoton steigend ist.

Aber warum so aufwändig?

|y| < -5

nicht negative Zahl < negative Zahl

dass  die Lösungsmenge leer ist, ist doch offensichtlich.