sqrt(x + 5) = sqrt(x + 10) -1 ist das Richtig ?

Question

ich verstehe bei einer Aufgabe nicht so genau die Aufgabenstellung.

Also die Aufgabe lautet wie folgt:

Bestimmen Sie von jeder Wurzelgleichung den Definitionsbereich. Lösen Sie die Gleichung nach x auf und überprüfen Sie, ob die vermutliche Lösung im Definitionsbereich der Gleichung enthalten ist.

sqrt(x + 5) = sqrt(x + 10) - 1

Ich weiss nicht so ganz wie das hier mit Definitionsbereich gemeint ist.

Normalerweise würde ich hier zuerst wie folgt herangehen:
D = (x E R| x >= 0) wegen der Wurzel aber wie soll ich bestimmen ob die Lösung im Definitionsbereich ist.

Also die Lösung wäre hier:
x + 5 = x + 10 - sqrt(x + 10) + 1
=> -6 = -sqrt(x + 10)
<=> 6 = sqrt(x + 10)
=> 36 = x + 10
=> 26 = x
Wie sage ich jetzt ob die vermutliche Lösung im Definitionsbereich ist.

:)

Comments

die lösung mit rechenweg stimmt.

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Achsoo weil ich ja gesagt habe das x >= 0 ist und das x in der Lösung 26 ist, ist ja die Lösung zugleich auch x >= 0. Währe die Lösung jetzt negativ, dann müsste ich hier sagen das die Lösung nicht in dem Definitionsbereich ist, Richtig ?

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Die Probe funktioniert nicht, also ist die Rechnung auch nicht richtig.

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Habe die Markierungen entfernt und die "Antwort" in einen Kommentar umgewandelt. Gegenteilige Umwandlung ist auf Wunsch auch möglich. Allerdings mischen sich dann die Kommentare :)

Answer 1

Dein Ergebnis stimmt nicht.

√(x + 5) = √(x + 10) - 1 |(...)^2

x + 5 = (√(x + 10) - 1)^2

x+5= x -2 √(x+10) +11 |-x

5= -2 √(x+10) +11 |-11

- 6 = -2 √(x+10)  |:(-2)

3= √(x+10) |(...)^2

9= x+10

x= -1

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.

DB: x ∈ R ;x ≥ -5

Comments

Wie bist du jetzt auf -5 gekommen ?

hmm

Answer 2

Ich wäre vorsichtig mit solchen Aussagen.

Das Quadrieren einer Gleichung ist KEINE Äquvalenzumformung und wenn man sie richtig durchführt erhält man

Korrektur(-1)

G:\(\sqrt{x + 5} = \sqrt{x + 10} - 1\)

\(x + 5 = x + 11 - 2 \; \sqrt{x + 10}\)

\(36 = 4 \; x + 40\)

x=-1

Diese Lösung ist nur hinreichend eine Lösung und es muss geprüft werden ob sie auch tatsächlich die Gleichung löst :

x=-1 ∈ G: 2=2

Der Definitionsbereich wäre D={x>-10 }, Lösung L={x=-1}

Comments

Wie bist du auf x>-10 gekommen ?

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x+5 >=0 ∧ x+10>=0 ==> x>=-10

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So demnach ginge also -7. Was passiert mit der ersten Wurzel wenn man -7 einsetzt?

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x + 5 >= 0 mit x >= -5 und x + 10 >= 0 mit x >= -10
Dann müsste es doch x >= -5 sein oder?

Da beide Zahlenstrahlen erst ab x >= -5 und verknüpft sind.

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Absolut richtig!

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Die UND Verknüpfung ist richtig geschrieben aber die Ungleichung die daraus resultiert muss schon
x >= -5 sein. GrosserLoewe hat es schon richtig hingeschrieben. Dennoch danke für deine Hilfe.

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Danke koffi123, für deine Hilfe :)

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Danke, für die Richtigstellung, Fehlschaltung meinerseits, Entschuldigung...