Reelle Zahlenfolgen (explizites und rekursives Bildungsgesetz)

Question

Ich habe es leider nicht geschafft die Aufgabe 1e und 2b zu lösen, wäre sehr froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte:

1, Setze die nachstehenden Zahlenfolgen jeweils um 4 weitere Glieder fort und gib das explizite Bildungsgesetz \( (a_n = ... ) \) an. Gib das Bildungsgesetz, wenn möglich, auch mit eigenen Worten an.

e) 0; 2; -6; 12; -20; ...

2. Lassen sich die nachfolgenden Folgen durch ein rekursives Bildungsgesetz angeben? Wie?

a) -4; 1; 6; 11; ...

b) 4; -1; -2; +5; -8; ...

Answer 1

 $$1e) 0, 2 , -6, 12, -20, \ldots $$

Betrachten wir erstmal kurz nur die Zahlen, ohne die Vorzeichen. Jedes mal addieren wir bei der vorherige Zahl 2n dazu. Das Vorzeichen wechselt sich ab, bei der ungerade Stellen haben wir - und bei der gerade Stellen haben wir +. Wir haben also folgendes: $$a_1=0 \\ a_{n+1}=(-1)^{n+1}\cdot (|a_n|+2\cdot n)=(-1)^{n+1}\cdot |a_n|+(-1)^{n+1}\cdot 2\cdot n$$ Es gilt dass $$(-1)^{n+1}|a_n|=-a_n$$ weil die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Wenn n gerade ist, dann ist das Folgenglied positiv. Und wenn n ungerade ist, dann ist das Folgenglied negativ mit den speziellen Fall für n=1 da a₁ = 0.

Eine alternative Formel für die rekursive Darstellung ist also $$a_1=0 \\ a_{n+1}=- a_n + (-1)^{n+1}\cdot 2n$$ 

 $$2b) +4, -1 , -2, +5, -8, \ldots $$

Wir haben $$a_1 =4 \\ a_2=-1 \\ a_{n+2}=a_n-(-1)^{n+1}\cdot 6$$

Comments

okay danke habe das verstanden, doch ich muss bei 1e) das Bildungsgesetz in an= .....ausdrücken, also das Explizite Bildungsgesetz nicht Rekursive....

Vielen dank und LG

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(Ich habe den Teil über 1e bearbeitet.)

Wir haben dass $$a_{n+1}=- a_n + (-1)^{n+1}\cdot 2n\Rightarrow a_{n+1}+ a_n = (-1)^{n+1}\cdot 2n$$ Wir haben folgende Gleichungen:
$$a_{n+1}+ a_n = (-1)^{n+1}\cdot 2n \\ a_{n}+ a_{n-1} = (-1)^{n}\cdot 2(n-1) \\ a_{n-1}+ a_{n-2} = (-1)^{n-1}\cdot 2(n-2) \\ \vdots \\ a_{3}+ a_2 = (-1)^{3}\cdot 2\cdot 2 \\ a_{2}+ a_1 = (-1)^{2}\cdot 2\cdot 1$$ Wir multiplizieren jede zweite Gleichung mit (-1) und addieren dann diese Gleichungen, so bekommen wir eine Teleskopsumme.

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Wenn n+1 gerade ist bekommen wir $$a_{n+1}=2n+2(n-1)+2(n-2)+\ldots +2\cdot 2+2\cdot 1 \\ =2\sum_{i=1}^{n}i=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$$
Wenn n+1 ungerade ist bekommen wir $$a_{n+1}=-2n-2(n-1)-2(n-2)-\ldots -2\cdot 2-2\cdot 1 \\ =-2\sum_{i=1}^{n}i=-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=-n(n+1)$$

Wir haben also dass $$a_{n+1}=(-1)^{n+1}n(n+1)$$

Answer 2

Zu 1e) a_n=(-1)^n-1·n·(n+1); nächstes Glied ist 30

Zu 2b) Vermutung: kein rekursives Bildungsgesetz möglich.

Comments

Vielen Dank für Ihrer Hilfe, aber wie sind Sie auf dieses Bildungsgesetz bei 1E gekommen? Und wie wissen Sie, dass kein Bildungsgesetz bei 2B möglich ist

Lg

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zu 1e) Ich kenne die Zahlenfolge 1, 3, 6, 10, .. Das ist die Folge der Summen der ersten n natürlichen Zahlen mit der Formel n(n+1)/2. Hier wechseln die Vorzeichen (Faktor (.1)^n-1) und die Folgenglieder sind genau doppelt so groß (heißen also im Betrag n(n+1)).

Zu 2b) Ich schrieb "Vermutung".