Wie löse ich dieses Gleichungsverfahren?

Question

Ich muss eine Basis des Kerns finden. Dazu habe ich die Matrix (4x4) gegaußt und bin zu folgendem gekommen

0	-1	1	0	0
-1	1	0	1	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Ich erhalte nun also zwei Gleichungen: 

-b = -c -> b = c

-a = -b - d -> a = b + d

Der erste Vektor der Basis wäre ja (0 1 1 0). 
Ich tue mich aber schwer dabei, den zweiten Vektor aufzustellen oder brauche ich sogar noch einen dritten Vektor? Denn schließlich könnte b=a mit d=0 aber auch d = a mit b=0 gelten. Wie stelle ich also nun den zweiten Vektor auf?

Answer 1

Wir haben dass $$b=c \\ a=b+d=c+d$$

Wir erhalten also folgende Lösungen $$\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c+d \\ c \\ c \\ d\end{pmatrix}=c\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$

Die Vektoren $$\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \ \text{ und } \  \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ bilden also die Basis.

Answer 2

Zwei Gleichungen mit vier Unbekannten haben unendlich viele Lösungen.