Wie löst man Gleichungen mit der "Lambertschen W-Funktion?"

Question

Haalllooo,

Wie berechnet man z. B. die Gleichung \(e^{2x}=8x\) mit der Lambertschen W-Funktion?

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Schlechtes Beispiel, nun updated!

Answer 1

e^{2x}=8x

setze

-2x=z:

e^{-z}=-4z|*e^z:(-4)

-1/4=ze^{z}|W(...)

W(-1/4)=z

Beachte die beiden versch. Zweige der W-Funktion,daher gibt es zwei versch, Lösungen!

Comments

W(-1/4)=-2x    |:(-2)

x=-0.5*W(-1/4)

Wie bestimmt man den Wert von W(-1/4)?

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Das weiß ich auch nicht so genau. Die Lambert-W Funktion ist ja keine elementare Funktion, man nutzt die Ja nur um die Lösungen von solchen Gleichungen schön aufschreiben zu können. Vermutlich muss man da numerisch rechnen. Frag mal HyperG, der kennt sich damit aus!

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Ja, ich hoffe, dass er es sieht... Danke dir aber schon mal!

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Auf Wikipedia steht:$$w _ { j + 1 } = w _ { j } - \frac { w _ { j } e ^ { w _ { j } } - z } { e ^ { w _ { j } } ( w _ { j } + 1 ) - \frac { ( w _ { j } + 2 ) ( w _ { j } e ^ { w _ { j } - z ) } } { 2 w _ { j } + 2 } }$$ Oder halt das NEWTON-VERFAHREN für \(we^w-z=0\):$$w _ { j + 1 } = w _ { j } - \frac { w _ { j } e ^ { w _ { j } } - z } { e ^ { w _ { j } } + e ^ { w _ { j } } w _ { j } }$$

Answer 2

\(e^{2x}=8x\Leftrightarrow-1/4=-2xe^{-2x}\Leftrightarrow W(-1/4)=-2x\).

Answer 3

die eine Lösung ist so:
$$ W\Big(-\frac{1}{4} \Big)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}\cdot k^{k-2}}{(k-1)!}\cdot \Big(-\frac{1}{4} \Big), $$ da die Lambert W-Funktion durch eine Potenzreihe beschrieben wird. Blöd ist nur, dass man damit nur eine Lösung bekommt, da diese Reihe nur den oberen Ast beschreibt. Angenähert hätte man dafür
$$ x_1=-0,5\cdot W\Big(-\frac{1}{4} \Big)\approx 0,179 $$
Ich selbst weiß nicht, wie die Reihe des unteren Astes lautet, aber zu Not, kann man es wieder numerisch machen...

EDIT: Und da diese Funktion bei den heutigen Taschenrechnern (wüsste jedenfalls kein Modell) nicht implementiert ist, ist es also im Endeffekt aufwendiger, da man nichts anderes als eine Reihe hat. Von daher geht das numerische Verfahren auch sehr gut.