Textaufgabe zu: Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen

Question

Hallo ihr lieben,

ich zweifel gerade sehr an mein logisches Denken bei der Aufgabe und bin sehr verwirrt.

Würde mich freuen wenn mir jemanden helfen könnte :)

Aufgabe:

Die Differenz zweier Zahlen beträgt 18. Subtrahiert man das Zehnfache der kleineren Zahl vom Dreifachen der größeren, so erhält man 19. Wie heißen die beiden zahlen?

Danke im  vor raus

Answer 1

Hi.

größere Zahl: x

kleinere Zahl: y

 

x-y = 18    -> x = 18+y

3x-10y = 19

 

Erste Gleichung in die zweite:

3(18+y) - 10y = 19

54 + 3y-10y = 19   |-19+7y

7y = 35

y = 5

 

Damit wieder in die erste Gleichung: x = 23

 

Grüße

Answer 2

Aus der Aufgabe geht hervor, dass eine Zahl x größer ist als die andere y. Wir können ferner zwei Gleichungen aufstellen:

$$x-y = 18 \quad und \quad 3 \cdot x - 10 \cdot y = 19 \ .$$
Als nächstes formt man die erste Gleichung nach x um:

$$ x = 18 + y \quad (1) \ .$$

Nun setzt man den Ausdruck für x in das x aus der zweiten Gleichung ein:

$$ 3 \cdot (18+y) - 10 \cdot y = 19$$

und löst diese Gleichung. Als Lösung für y erhalten wir:

$$y= 5 \ .$$

Diesen Wert können wir in Gleichung (1) einsetzen, um unser x zu berechnen:

$$x = 18 + 5 = 23 \ .$$

Somit ist x = 23 und y = 5.

Comments

Danke für die super Erklärung :)

nun hab ich eine aufgabe vor mir die irgendwie komisch ist. Es geht ums Gleichsetzungsverfahren.

Da steht:

x+5= 5y

2y+2x=14

Nun wenn ich die erste gleichung durch 5 nehme dann weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Man muss ja dann gleichsetzen um x herauszukriegen oder nicht

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Gern geschehen. ;)

Gleichsetzungsverfahren bedeutet, wie der Name schon sagt, dass du die beiden Gleichungen gleichsetzen musst. Dabei ist es wichtig, dass du beide Gleichungen so umformst, dass auf einer Seite das gleiche steht. Dabei ist es egal ob du nach "x", "y" oder "5y" usw. umformst.

Somit gibt es mehrere richtige Möglichkeiten. Damit du nicht mit Brüchen arbeiten musst, würde ich die erste und die zweite Gleichung nach x umformen:

$$x = 5y - 5 \quad und \quad x = 7 - y \ .$$

Jetzt setzt du die beiden Gleichungen gleich und erhältst

$$ 5y - 5 = 7 -y \quad \Rightarrow y = 2 \ .$$

Dieses Ergebnis kannst du nun in irgendeine Gleichung in der ursprünglichen Form für y einsetzten und schließlich x berechnen.

Einsetzen von y in die erste Gleichung liefert:

$$x + 5 = 10 \quad \Rightarrow x = 5 \ . $$

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Nun hab ich das gleich nur mit Brüchen also

y=5/3*x -12

y=1/3*x -4
kann ich die brüchen auch in Dezimalzahl schreiben?

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Kann man natürlich, aber gerade bei Drittel wirst du ungenaue Werte erhalten. Rate also deshalb davon ab.

Hier sind beide Gleichungen doch schon nach y umgestellt. Einfach gleichsetzen:

$$ \frac{5}{3}x - 12 = \frac{1}{3}x - 4 \quad | \cdot 3 $$

$$ \Leftrightarrow \quad 5x - 36 = x -12 $$

$$ 4x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \ .$$

Einsetzen in die erste Gleichung:

$$ y = \frac{5}{3} \cdot 6 - 12 = \frac{30}{3} - 12 = 10 - 12 = -2 \ . $$