DGL: (1+x)y'-y=2*sin(x); y(0)=3

Question

Folgende DGL Möchte ich lösen:

 (1+x)y'-y=2*sin(x); y(0)=3

Meine Schritte:

y'=2sin(x)/(1+x) = 2sin(x)/(1+x) - y/(1+x)

-> Variation der Konstanten

g(x)= 1/(1+x)  G(x) = ln(1+x)

s(x)= y/1+x oder ist es auch 1/(1+x)

(∫s(x)*e^{-G(x)} ex +C) *e^G(x)

Answer 1

Meinst Du die Rechnung über die Lösungsformel?

y= e^{ - ∫ g(x) dx ( ∫ s(x) e^{∫g(x)dx}  dx+C) }

(1+x)y'-y=2*sin(x) | :(1+x)

y ' - y/(1+x) =( 2sin(x)) / (1+x)

------->

g(x)=  -1/(x+1)

s(x)= ( 2sin(x)) / (1+x)

∫ g(x) dx=  -ln|x+1|

∫s(x) *e^{∫ g(x) dx}= ∫ (2 sin(x)/(1+x)^2 dx

Comments

warum formst du die Gleichung um d.h. mit (1+x) teilen, man hätte die Gleichung doch so lassen können und dann wäre ja g(x) = 1/(1+x)

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Bei dieser Variante darf vor dem y' kein Faktor stehen, deshalb.

Ist die Aufgabe richtig abgeschrieben, Die Lösung ist etwas komisch.

Lautet die Aufgabe:

(1+x)y'+y=2*sin(x), y(0)=3 ??

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(1+x)y'- y=2*sin(x), y(0)=3 

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also die lösungsformel lautet (∫s(x)*e^{-G(x)} dx +C) *eG(x), bei dir

∫s(x) *e^{∫ g(x) dx}= ∫ (2 sin(x)/(1+x)2 dx, wobei du das e^(-G(x)) nicht beachtet hast, dann kommt man auf ( ∫ 2sin(x) dx + C) *1/(1+x)

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Ich kann mir aber trotzdem nicht vorstellen, das die Aufgabe so lautet.

Möglicherweise ist da ein Druckfehler in der Aufgabe??

Das Integral ist auf elementarem Weg nicht zu lösen, nur über Si(x) und Ci(x) ??

Answer 2

homogene Gleichung:

y'=y/(1+x)

dy/y=dx/(1+x)

ln|y|=LN(1+x)+c

y=C*(1+x)

Rest durch Variation der Konstanten:

y=C(x)*(1+x)

Einsetzen:

(1+x)(C'(1+x)+C)-C(1+x)=2sin(x)

C'=2sin(x)/(1+x)^2

dC=2sin(x)/(1+x)^2 dx

C+d=∫2sin(x)/(1+x)^2 dx

Substituierte rechts 1+x , integriere dann partiell , Lösungen sind nur durch Integralsinus und Integralcosinus darstellbar.

C= 2(sin(1)Si(1+x)+COS(1)Ci(1+x))-2sin(x)/(1+x)-d

Also

y=[2(sin(1)Si(1+x)+COS(1)Ci(1+x))-2sin(x)/(1+x)-d]*(1+x)

AWB:

3=[2(sin(1)Si(1)+COS(1)Ci(1))-d]

d=2(sin(1)Si(1)+COS(1)Ci(1))-3