Lösen von DGL x^3 y'=x^2*y - y^3

Question

Hi

Eine andere DGL:

x^3 * y'=x^2 * y - y^3, y(1)=1

y'=y/x - y^3/x^3

Dann wollte ich y/x = u substituieren

y'=u - ??? Ist y3/x^3 = u^3??

Dann komme ich auch nicht weiter

Danke für die Hilfe

Answer 1

z=y/x

y=z *x

y '=z +z' x

------->

z +z' x = z -z^3

z' x = -z^3 ->Trennung der Variablen

dz/dx * x= -z^3

dz/z^3 = - dx/x

-1/(2 z^2)= - ln|x| +C |*(-1)

1/(2 z^2)=  ln|x| -C 

1/(2(ln|x| -C) = z^2

z= ±1/(√2(ln|x| -C)

Resubstitution:  z=y/x

y= ± x/√ (2 ln|x| +C₁)

Comments

Dankeschön,

eine frage:

wie kommst du auf y'=z + z'*x ?

und wie kommst du auf - x (ln|x|-1), wenn man -dx/x integreirt? das wäre doch - ln(x)

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wie kommst du auf y'=z + z'*x ?

Es ist z= z(x) und y=y(x) jeweils eine Funktion von x .

Berechnung erfolgt mit der Produktregel.

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achso stimmt danke, und wie kommst du auf - x (ln|x|-1), wenn man -dx/x integreirt? das wäre doch - ln(x)

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z' x = -z3 ->Trennung der Variablen

dz/dx * x= -z3

dz/z3 = - dx/x

-1/(2 z2)= - ln|x| +C |*(-1)

1/(2 z2)=  ln|x| -C

1/(2(ln|x| -C) = z2

z= ±1/(√2(ln|x| -C)

Resubstitution:  z=y/x

y= ± x/√ (2 ln|x| +C1)