Wahrscheinlichkeitsraum, k Kugeln in n Urnen

Question

Ich bin gerade dabei Wiedrholungsaufgaben zu lösen, hänge aber schon bei der ersten Aufgabe.

Aufgabe:

Wir betrachten k € N nummerierte Kugeln und verteilen diese zufällig auf n € N nummerierte Zellen.
(i) Geben Sie für das Experiment einen geeigneten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P(Ω), P) αν:
(ii) Geben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω an und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeit:
• Für ein festes m mit 1 ≤ m ≤ min{n, k} liegt die Kugel m in Zelle m.
• Sei k ≥ 3. In Zelle n liegen genau 3 Kugeln.
• Sei k ≥ 2. Mindestens eine Zelle ist mit 2 Kugeln belegt.
• Sei k ≥ n. Mindestens eine Zelle ist leer. (Tipp: Siebformel)

Den Wahrscheinlichkeitsraum habe ich wie folgt definiert:

- Ω = {w = (w₁,w₂) | w₁ ∈ {1,..,k}, w₂ ∈ {1,...,n}}

- Sigma-Algebra = Potenzmenge von Omega

- Wahrscheinlichkeitsmaß = $$ \frac{1}{|Ω|} = \frac{1}{\frac{n!}{(n-k)!}}, Laplace-Wahrscheinlichkeit$$

Und für ii) den ersten Punkt habe ich {w= (w₁,w₂) | w₁=w₂=m : 1 <= m <= min(n,k)}

Ich weiß aber nicht, wie ich die anderen Mengen aufschreiben muss, bzw. wie ich die zugehörig Wahrscheinlichkeit herausfinde.

Answer 1

Ω = {w = (w₁,w₂) | w₁ ∈ {1,..,k}, w₂ ∈ {1,...,n}}

Das würde bedeuten, dass (1,1) ∈ Ω ist (also Kugel 1 befindet sich in Zelle 1) und (1,2) ∈ Ω ist (also Kugel 1 befindet sich in Zelle 2). Das kann aber nicht sein; die Ergebnisse in Ω müssen sich gegenseitig ausschießen.

Nimm als Ω die Menge aller Abbildungen von {1, ..., k} nach {1, ..., n}.

Ein anderer Grund, warum das von dir vorgeschlagene Ω unpassend ist: Ω soll die möglichen Ergebnisse enthalten. Ein Ergebnis gibt dabei wegen "verteilen diese zufällig auf n ∈ N nummerierte Zellen" für jede Kugel an, in welcher Zelle sie gelandet ist, nicht nur für eine bestimmte.

- Sigma-Algebra = Potenzmenge von Omega

Das ist in Ordung.

W'Maß

Das ist eine Abbildung von der σ-Algebra (in deinem Fall P(Ω)) in das Intervall [0,1]. Insbesondere ist es keine Abbildung von Ω nach [0,1]. Natürlich kann man im diskreten Fall aus der von dir angegebnenen Abbildung ein W'Maß P' herleiten: P'(E) = ∑_e∈E P(e). Im continuierlichen Fall geht das aber nicht mehr.

Comments

Ok, dann wäre
Ω = {1,..,k} x {1,...,n}

Dann ist |Ω| = kⁿ