wenn Du ein Gleichheitssystem mit Unbekannten lösen möchtest, so gilt es, diese zu isolieren. So kann man die erste Gleichung nach \(a\) umstellen $$\begin{aligned} a \cdot b &= a + b \quad && \mid -a \\ a \cdot b - a &= b \\ a(b-1) &= b &&\mid \div (b-1) \\ a &= \frac{b}{b-1} \end{aligned}$$ jetzt ist \(a\) isoliert und rechts steht ein Ausdruck, der unabhängig von \(a\) ist. Dann kann man den Ausdruck für \(a\) in die zweite Gleichung einsetzen: $$ \begin{aligned}\frac ab &= a - b \\ \frac{b}{b(b-1)} &= \frac{b}{b-1} - b \\ \frac{1}{b-1} &= \frac{b - b(b-1)}{b-1} &&\mid \cdot (b-1) \\ 1 &= b - b^2 + b &&\mid +b^2 - 2b\\ b^2 -2b + 1 &= 0 \\ (b-1)^2 &= 0\end{aligned}$$ Das würde bedeuten, dass \(b-1=0\) ist. Oben ist aber mit \(b-1\) multipliziert und dividiert worden, womit dies auszuschließen ist. Setzt man \(b=1\) probehalber in den Ausdruck für \(a\) ein, so folgt daraus eine Division durch \(0\). Diese Lösung entfällt damit (siehe aber mein Kommentar unten!).
Nun heißt es aber:
Der Quotient der beiden Zahlen ist gleich ihrer Differenz
aber nicht, was bei 'Differenz' von was abgezogen wird. Ich versuche also:
$$\begin{aligned} \frac ab &= b -a \\ \Rightarrow b^2 -2b -1 &= 0 \\ b_{1,2} &= 1 \pm \sqrt{1 + 1} = 1 \pm \sqrt{2}\end{aligned}$$ Da \(a\) und \(b\) positiv sein sollen, bleibt \(b=1+\sqrt{2}\). Einsetzen in den Ausdruck für \(a\) gibt: $$a = \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac12 \sqrt{2}+1$$ Mache die Probe!
Gruß Werner
