3 Zahlen bilden eine geometrische Folge. Ihre Summe und ihr Produkt sind gegeben. Wie lauten die Zahlen?

Question

Hallo allerseits!

Mein Ansatz (und meine Lösung) hier sind Standard:

Zwei Gleichungen mit b...erstes Glied und q....Faktor zum nächsten Glied hin:

b + b*q + b*q^2 = S (Summe)    S=105,3

b * b*q *b*q^2 = P (Produkt)      P=14348,907

Ich komme auf eine quadratische Gleichung, löse diese und bekomme

auch schöne Ergebnisse, bloß natürlich zwei Möglichkeiten. Meine Frage nun: Habe ich irgendein

Ausschlusskriterium für eine der beiden Lösungen übersehen oder gibt es einfach zwei gleichberechtigte Lösungen.

Vielen Dank und beste Grüße!

Answer 1

Wenn keine Vorgaben gemacht sind (alles positiv oder so) kann das durchaus stimmen. Mach doch einfach eine Probe

Answer 2

Schon aus der Lösung von q²+q+1-105,3/b=0 kann man schließen, dass b posittiv sein muss. Wegen b³q³>0 muss dann auch q positiv sein. Es gibt zwei Lösungen:1) =8,1 und q=3  2) b=72,9 und q=1/3.

Answer 3

Wann und warum es in solchen Fällen wieviele Lösungen geben muss, weiß ich auch nicht. Ich betrachte nur das vorliegende Gleichungssystem:

(1) b + b*q + b*q^{2} = 105.3
(2) b * b*q *b*q^{2} = 14348.907

Beide Gleichungen lassen sich vereinfachen, etwa so:

(1') b * (1 + q + q^{2}) = 105.3
(2') b*q = 24.3

Die beiden Lösungspaare 

b=8.1, q=3 sowie
b=72.9=8.1*9, q=1/3=3/9

gehen durch Wechsel des Faktors 9 auseinander hervor.