Nullstellen von Ganzrationalen Funktionen f(x)= 0,5x^4+0,5x^3+x^2+2x-4

Question

Ich verstehe leider nicht wie man bei solchen Ganzrationalen Funktionen vorgehen soll, jedoch ohne Polynomdivision da wir es noch nicht gelernt haben. Ich wäre echt dankbar wenn das jemand schaffen könnte und mir den Weg ebenfalls zeigen könnte ( Ausklammern oder Substitution einfach ohne Polynomdivision :D )

f(x)= 0,5x^4+0,5x^3+x^2+2x-4

Dankee schon mal im Voraus !!

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Für weiteren Spaß mit Polynomen vierten Grades siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom_vierten_Grades

Es gibt eine gesamte Lösungsformel :)

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Vielen Dank ! Ich schaue es mir mal an

Answer 1

Zerlege in Linearfaktoren:$$0.5x^4-0.5x^3+x^2+2x-4=0 \quad |:0.5$$Ergänzen:$$x^4-x^3+2x^3-2x^2+4x^2-4x+8x-8=0$$ Faktorisieren:$$x^3(x-1)+2x^2(x-1)+4x(x-1)+8(x-1)=0$$ Klammere \(x-1\) aus:$$(x-1)\cdot (x^3+2x^2+4x+8)=0$$ Faktorisieren:$$(x-1)\cdot (x^2\cdot (x+2)+4(x+2))=0$$ Klammere \(x+2\) aus:$$(x-1)\cdot (x+2)\cdot (x^2+4)=0$$ Nun die Teilgleichungen lösen:$$x+2=0 \longrightarrow x_1=-2$$$$x-2=0 \longrightarrow x_2=2$$$$x^2+4=0 \longrightarrow x_{3,4}=\pm 2i$$

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Answer 2

Falls Ihr das HORNER SCHEMA hattet:

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Leider noch nicht :/ aber trotzdem danke für die Mühe !!

Answer 3

0= 0,5x^{4}+0,5x^{3}+x^{2}+2x-4     | * 2

0 = x^4 + x^3 + 2x^2 + 4x + 8

Falls es reelle Nullstellen gibt, sind alle ganzzahlig und Teiler von 8. Ausserdem ist das Produkt aller Nullstellen (auch der komplexen) MINUS Acht.

Teste daher mit ± 1, ±2 , ±4 und ± 8. D.h. Einsetzproben machen.

Die grösseren möglichen Teiler brauchst du nicht mehr zu testen, wenn das Produkt der Nullstellen betragsmässig schon über 8 liegt.

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Falls es reelle Nullstellen gibt, sind alle ganzzahlig...

Warum sollte das so sein?