Lineare Abbildung prüfen und Kern herleiten

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Abbildung \( T: C^{2}(\mathbb{R}) \rightarrow C(\mathbb{R}) \) mit
\[
T(f):=f^{\prime}+f \qquad f \in C^{2}(\mathbb{R})
\]
a) Zeigen Sie, dass \( T \) linear ist.
b) Leiten Sie Kern \( (T) \) her.
c) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\mathrm{Kern}(T)) \)

Mit f' ist die Ableitung gemeint.

a)

1. T(f+g) = (f+g)' + (f+g) = (f' + f)+ (g' +g) = T(f) + T(g)

2.  λ∈ℝ

  T(λ*f) = λ*f' + λ*f = λ(f'+f) = λ*T(f)

Ist das korrekt soweit?
Leider weiß ich aber nicht wie ich den Kern herleiten soll.

Answer 1

Soweit richtig.

Für den Kern brauchst du:

Für welche f gilt   T(f) = 0

                          f ' + f = 0

                                 f ' = - f

Da fällt mir spontan nur  f mit  f(x) = k*e^{-x} ein.

Dann wäre z.B        f(x) = e^{-x}   eine Basis, also ist der

Kern eindimensional.