Machen wir es ganz genau. Fallunterscheidung; a = 0 Dann hast du die ( steigende ) WH y = x , eine ungerade Funktion, die Nullpunkt symmetrisch verläuft.
( Ich will einmal spitzfindig sein; diese Symmetrie besteht nur extern in Bezug auf das Koordinatenkreuz. Inhärent ist eine Gerade Punkt symmetrisch in Bezug auf jeden beliebigen ihrewr Punkte. ) Und jetzt der allgemeine Fall a < > 0
Was euch eure Lehrer verschweigen; was nicht im Internet steht.
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.
Sie verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren Wendepunkt. "
Offensichtlich eine von der besonderen Wahl des Koordinatensystems unabhängige Aussage. Und wie findet man den Wendepunkt?
die frohe Botschaft; dazu braucht's keine 2. Ableitung. Du gehst immer aus von der ( dir wohl vertrauten ) Normalform
f ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 1a )
Abermals Diktat für FRS
x_w = - 1/3 a2 ( 1b )
Hier das sollte allemal leichter von Statten gehen als die Mitternachtsformel ...
Und die Koeffizienten von deinem f_a lauten in Normalform
a2 = a0 = 0 ; a1 = - 1/a ² ===> x_w = 0 ( 2 )
Natürlich sieht man das " auch so " Aber ich wollt doch den übergeordneten Gesichtspunkt hinein gebracht haben; Schüler neigen nämlich sehr schnell zu dem Trugschluss, unter den Polynomen 3. Grades gebe es synmmetrische und eben unsymmetrische.
Jeden Tag im Dschungelcamp; jedes kubische Polynom wieder ein neues Abenteuer ...
