Symmetrieeigenschaft einer Schar bestimmen

Question

f_k (x) = x⁴ - (k+4)x³ + 4kx²

 

nun soll gezeigt werden das  für f₄ eine Symmetrieeigenschaft vorliegt .

 

Wie löse ich das rechnerisch ( Geogebra zeigt symmetrie zu x = 2 ).............????

 

Man weiß ja :    Achsensymmetrie:      f(-x) = f(x)

                           Punktsymmetrie :      f ( a +h) - b  = - f( a - h) + b

 

aber das hilft irgendwie nicht ......... Bitte um eure Hilfe

Answer 1

f₄ = x^4-8x^3+16x^2 = (x-4)^2*x^2

 

Nun vermutest Du schon bei x=2 eine Symmetrie. Nehmen wir die allgemeine Symmetriebedingung zu einer Achse f(a-x) = f(a+x), wobei a=2

f(2-x) = (2-x-4)^2*(2-x)^2 = (-2-x)^2(2-x)^2 = (2+x)^2(2-x)^2

f(2+x) = (2+x-4)^2(2+x)^2 = (x-2)^2(2+x)^2 = (2-x)^2(2+x)^2

 

Es liegt eine Achsensymmetrie zu x=2 vor.

 

Grüße

Comments

wieso werden die -8x³      nicht beachtet ?

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? Werden sie doch ;).

 

x⁴-8x³+16x² = x^2(x^2-8x+16)

binomische Formel erkennen:

x^2(x-4)^2

 

Du kannst auch mit dem Ursprungsausdruck rechnen, allerdings brichst Du Dir da halber das Genick. Das so umzuschreiben wie vorgeschlagen, macht die Sache recht simpel ;).

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und wieso sieht man dann das x = 2  die Symmetriegerade sein soll ?

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Na, da für a=2 tatsächlich die Bedingung für eine Achsensymmetrie erfüllt ist. Also ist a=2 eine Symmetrieachse. Oder weil wir die Stelle 2 als Symmetrieachse nennen eben x=2 ;).