Wie groß ist der Durchmesser der Kugel?

Question

Eine Kugel wird in ein mit Wasser gefülltes zylindrisches Gefäß gegeben. Der innere Durchmesser der Grundfläche des Gefäßes beträgt 6 cm. Der Wasserspiegel steigt dabei um 0,5 cm. Wie groß ist der Durchmesser der Kugel?

Answer 1

Zuerst muss man berechnen was für ein Volumen die Kugel verdrängt hat, also das Wasservolumen (was einem Zylinder entspricht):

$$ V_{Wasser} = r^2 \cdot \pi \cdot h = (3 \ cm)^2 \cdot \pi \cdot 0,5 \ cm \approx 14,14 \ cm^3 \ .$$

Dieses Wasservolumen ist logischerweise genau so groß wie das Kugelvolumen. Somit musst du die Formel für das Volumen einer Kugel heranziehen, den eben berechneten Wert für V einsetzen und nach den Radius auflösen:

$$ V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = 14,14 \ cm^3$$

$$ \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 14,14 \ cm^3}{4 \cdot \pi}} \approx 1,5 \ cm \ .$$

Da der Durchmesser das Doppelte vom Radius ist, gilt für den Durchmesser  d = 3 cm .

Answer 2

Nun, offenbar hat die Kugel ein Wasservolumen von

V = pi * r ² * h = pi * 3 ² * 0,5 = 14,137 cm ³

verdrängt. Das entspricht dann natürlich auch dem Volumen der Kugel.

 

Das Volumen einer Kugel beträgt:

V_Kugel = ( 4 / 3 ) * pi * r ³

Auflösen nach r ergibt:

r = ³√ ( ( 3 * V_Kugel ) / ( 4 * pi )

Setzt man hier für V_Kugel das oben berechnete Volumen V ein, erhält man:

r = ³√ ( 3,375 ) = 1,5 cm

Die Kugel hat also einen Durchmesser von 2 * r = 3 cm.