Volumen der Kugel berechnen

Question

Aufgabe:

1. Eine Halbkugelförmige Kuppel auf einem Gebäude hat einen inneren Durchmesser von 45 m. Wie groß ist sie von innen sichtbare Fläche der Kuppel?

2. Eine halbe Hohlkugel hat einen Außendurchmesser von 25 cm und eine Wandstärke von 5 mm. Wie viel Liter Wasser fasst sie?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich diese beide Aufgaben lösen soll.

Answer 1

Hallo,

1. Die Formel für die Oberflächenberechnung einer Kugel lautet

\( O_{Kugel}=4 \cdot \pi \cdot r^{2} \)

und entsprechend für eine Halbkugel

\( O_{Halbkugel}=2 \cdot \pi \cdot r^{2} \)

Der Durchmesser ist das Doppelte vom Radius, also \(d=2\pi\)

2. Die Formel für die Volumenberechnung einer Kugel lautet

\( V_{\text {Kugel }}=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \)

und entsprechend für eine Halbkugel

\( V_{\text {Halbkugel }}=\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \)

Berücksichtige hierbei, dass du vom Außenradius noch die Wandstärke abziehen musst.

Außerdem \(1l=1000cm^3\)

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

zu 1) Der Innendurchmesser der halbkugelförmigen Kuppe beträgt: \(\quad d=45\,\mathrm m\)

Der Innenradius ist halb so groß: \(\quad r=\frac d2=22,5\,\mathrm m\)

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) beträgt: \(\quad F_{\text{Kugel}}=4\pi r^2\)

Die Oberfläche einer Halbkugel ist halb so groß: \(\quad F_{\text{Halbkugel}}=2\pi r^2\)

Damit beträgt die sichtbare Fläche der Kuppel:$$F_{\text{Kuppel}}=2\pi\cdot(22,5\,\mathrm m)^2=2\pi\cdot22,5^2\,\mathrm m^2\approx3180,86\,\mathrm m^2$$

zu 2) Der Außendurchmesser der halben Hohlkugel beträgt: \(\quad D=25\,\mathrm{cm}\)

Der Außenradius ist halb so groß: \(\quad R=12,5\,\mathrm{cm}\)

Die Wandstärke beträgt \(5\,\mathrm{mm}=0,5\,\mathrm{cm}\), also beträgt der Innenradius: \(\quad r=12\,\mathrm{cm}\)

Das Volumen einer Kugel mit Radius \(r\) beträgt: \(\quad V_{\text{Kugel}}=\frac43\pi r^3\)

Das Volumen einer Halbkugel ist halb so groß: \(\quad V_{\text{Halbkugel}}=\frac23\pi r^3\)

Daher beträgt das Fassungsvermögen der Halbkugel:$$V_{\text{Halbkugel}}=\frac23\pi(12\,\mathrm{cm})^3=\frac23\pi\cdot12^3\,\mathrm{cm}^3\approx3619,11\,\mathrm{cm}^3\approx3,62\,\ell$$Beachte, dass \(1\ell=1000\,\mathrm{cm}^3\) gilt.