Entscheiden, ob Folge punktweise oder gleichmäßig konvergiert.

Question

Aufgaben dieser Art gab es wahrscheinlich schon mehrfach, aber ich verstehe das Thema einfach nicht. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Betrachten sie jeweils die reellen Funktionen s_n : ℝ → ℝ definiert durch
a) s_n(x) = $$ \frac{3}{2+n|x|} $$, x ∈ ℝ

b) s_n(x) = $$ \frac{3|x|}{2+n|x|} $$, x ∈ ℝ

Entscheiden sie für die Folgen (s_n)_n∈ℕ von Funktion s_{n :} ℝ → ℝ, n ∈ ℕ, jeweils, ob diese
i) punktweise konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion s : ℝ → ℝ
ii) gleichmäßig konvergieren, und wenn ja, gegen welche Funktion s : ℝ → ℝ

Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt erklären, wie man so eine Aufgabe löst?

Answer 1

zu a)  Für x=0 ist die Folge konstant, geht also gegen 3/2.

Für x ≠ 0 geht der Nenner gegen unendlich und der Zähler ist konstant,

also geht die Folge gegen 0.

Insgesamt konvergiert die Funktionenfolge also gegen

         f(x) mit   0 für  x ≠ 0

               und  3/2  für x=0 .

Diese Funktion ist bei x=0 nicht stetig, die s_n sind es aber alle.

Also ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.

b) Es ist s_n(0)=0 für alle n, also konvergiert s_n im Punkt 0

gegen 0.  Für x ≠ 0 hast du

s_n(x) = 3 /  (2/|x|  +  n )  und das geht unabhängig vom Wert von

x für n gegen unendlich gegen 0.

Also konvergiert s_n gegen die Nullfunktion.

Um zu prüfen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist,

betrachte für ein eps>0  die Ungleichung  | s_n(x) - 0 |  <  eps  #.

Für x=0 ist die immer erfüllt und sonst gilt:

    |  3|x| / ( 2+n*|x|) - 0 | < eps

Der äußere Betrag entfällt, da alles positiv

<=>       3|x| / ( 2+n*|x|)  < eps

<=>       3|x|   <   ( 2+n*|x|) * eps

<=>       3|x|   <   2*eps  +n*|x|* eps     |   :|x|  ( x ≠ 0 )

<=>    3      <   2eps/|x|   +   n*eps

<=>    3     -  2eps/|x|   <    n*eps     | :eps

<=>    3/eps     -  2/|x|   <    n

Das ist sicher erfüllt, wenn  n > 3/eps.

Also wählt man N = ganze Zahl größer als 3/eps,

dann gilt für alle n>N die Ungleichung #

und deshalb ist die Konvergenz gleichmäßig.