Basis zu gegebener Basistransformationsmatrix finden

Question

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Folgende Aufgabe:

Reicht es hier einfach S zu invertieren und diese dann jeweils mit den Basis vektoren zu multiplizieren?

Answer 1

Meine schreibweise

von B nach E: eTb = spaltenweise zu einer Matrix angeordnete Basisvektoren der Basis B

von C nach E:  \(eTc \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}4&1&3\\1&0&0\\3&2&2\\\end{array}\right)\)

von C nach B: \(bTc \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&-1&0\\1&1&0\\\end{array}\right)\)

bTc = bTe eTc  ===> bTc = eTb^-1 eTc ===> eTb bTc =  eTc ===> eTb  =  eTc bTc^-1

wenn ich das richtig zusammen geklöppelt habe:

\(eTb=\left(\begin{array}{rrr}3&3&1\\0&1&1\\2&1&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Nach dem Aufgabentext war doch die gegebene Matrix für den

Übergang von B nach C.

Müsste dann nicht für bTc die Inverse genommen werden ?

Dann bekomme ich nämlich für eTb =

7  6  4 
1  1   1
5  3   3

und wenn wir dazu mal nen Test machen, also etwa v hat bzgl B

die Koordinaten (2;-1;0) dann ist es in der Stand.schreibweise   v =

8
1
7.

Jetzt den Wechsel von B nach C ergibt die Koo

S_B,C * (2;-1;0)^T   =   (1;1;1)T

und wenn man bei den Basisvektoren von C rechnet

1*c1 + 1*c2 + 1*c3 hat man wieder

8
1
7.

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Yep, da hab ich einen Dreher drin - Entschuldigung und Danke für den Hinweis.

Hab den Basiswechsel in der falschen Richtung aufgeschrieben - verklöppelt.

Das mit der Inversen funktioniert, ich baue die Rechnung sicherheitshalber neu auf - gegeben sind eTc und cTb :

cTb = cTe eTb ===> cTb = eTc^-1 eTb ===>  eTc cTb  =  eTb

\(eTb=eTc \; cTb = \left(\begin{array}{rrr}7&6&4\\1&1&1\\5&3&3\\\end{array}\right)\)