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Beweis der Äquivalenz: \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\) genau dann, wenn \(A \cap C = \emptyset\)
Um die gegebenen Beziehungen zwischen Mengen zu zeigen, betrachten wir die Äquivalenz in zwei Schritten: Zum einen müssen wir beweisen, dass wenn \(A\) und \(C\) disjunkt sind (\(A \cap C = \emptyset\)), dann folgt \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\). Zum anderen müssen wir zeigen, dass wenn \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\), dann müssen \(A\) und \(C\) disjunkt sein.
Erster Teil: \(A \cap C = \emptyset \Rightarrow A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\)
Betrachten wir die Voraussetzung, dass \(A\) und \(C\) disjunkt sind, das heißt, sie haben keine Elemente gemeinsam. Das bedeutet, kein Element von \(A\) kann in \(C\) enthalten sein. Somit gilt:
1. Für jedes Element \(x \in A\), da \(x \notin C\), ist \(x\) automatisch in \((A \cup B) \setminus C\), weil es entweder in \(A\) oder \(B\) (oder beiden) ist, aber nicht in \(C\).
2. Betrachten Sie ein Element \(x \in (B \setminus C)\). Dieses Element ist in \(B\), aber nicht in \(C\), also ist es ebenfalls in \((A \cup B) \setminus C\).
Da alle Elemente von \(A\) und \(B \setminus C\) in \((A \cup B) \setminus C\) enthalten sind, folgt, dass \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\).
Zweiter Teil: \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C \Rightarrow A \cap C = \emptyset\)
Angenommen, \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\), aber \(A\) und \(C\) sind nicht disjunkt. Das würde bedeuten, dass es ein Element \(x\) gibt, sodass \(x \in A\) und \(x \in C\).
Wenn \(x \in A\) und \(A \subset (A \cup B) \setminus C\), dann müsste \(x\) im Ergebnis nicht in \(C\) sein, um in \((A \cup B) \setminus C\) zu sein. Dies steht jedoch im Widerspruch zu unserer Annahme, dass \(x\) sowohl in \(A\) als auch in \(C\) ist. Daher, wenn \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\), muss \(A\) und \(C\) disjunkt sein, folglich \(A \cap C = \emptyset\).
Zusammenfassung:
Die Äquivalenz wurde durch die Beziehung zwischen der Disjunktheit von \(A\) und \(C\) (\(A \cap C = \emptyset\)) und der Mengeninklusion \(A \cup (B \setminus C) \subset (A \cup B) \setminus C\) gezeigt. Aus der Disjunktheit von \(A\) und \(C\) folgt die Inklusion und umgekehrt, die Inklusion impliziert die Disjunktheit.
