Reihe ∑(n+1)q^n = (1/(1-q))^2 Wieso?

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)q^n=\left( \frac{1}{1-q} \right)^2$$

für |q|<1 Ich finde gerade keinen weg das zu zeigen.

Comments

beweis durch induktion

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beweis durch induktion

Um Himmels Willen, nein!

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@André und Bilderverbot: Schon klar, dass ich die User nicht dazu auffordere Fotos von geschütztem Material hochzuladen :) Sie sollen eigene Skizzen erstellen und fotografieren oder Text formulieren. Aber:

Es ist ein Zweck solcher Aufgaben https://www.mathelounge.de/574113/glucksrad-wird-zwei-mal-gedreht-beim-ersten-drehen-erscheint eine bildliche Vorstellung von Brüchen und Wahrscheinlichkeiten nachzuholen. Da in der Grundschule Bruchrechnen nicht mehr die gleiche Bedeutung hat wie früher, fehlt teilweise jegliches Zahlenverständnis. Die sprachlichen Fähigkeiten, das Glücksrad exakt zu beschreiben ohne es zu zeichnen, hast vielleicht du. Die Zielgruppe dieser Fragen hat das eher weniger. Mit der Zielgruppe muss dann ein Nachhilfelehrer aus deinem Text erst mal ein Bild malen.

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Schon klar, dass ich die User nicht dazu auffordere Fotos von geschütztem Material hochzuladen :)

Du nicht, andere schon.

Da in der Grundschule Bruchrechnen nicht mehr die gleiche Bedeutung hat wie früher

Um es genau zu nehmen: Gar keine!

Dieser Kommentar gehört meiner Ansicht nach hierhin:  https://www.mathelounge.de/574113/glucksrad-wird-zwei-mal-gedreht-beim-ersten-drehen-erscheint

Ich denke mal, es ging Dir um den Notify-Prozess. Das nächste mal dann einfach per Chat.

Answer 1

leite die geometrische Reihe nach q ab:

$$\sum_{n=0}^{\infty} q^n=\frac{1}{1-q} $$

Comments

$$\sum_{n=0}^{\infty} q^n=\frac{1}{1-q}$$

Ableiten:

$$\sum_{n=0}^{\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$$ ⇔

$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)q^{n}=\frac{1}{(1-q)^2}$$

Wie kann ich jetzt den Index verschieben? Um auf das zu kommen:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)q^{n}=\frac{1}{(1-q)^2}$$

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Du hast doch alles richtig gemacht.

$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)q^{n}=\frac{1}{(1-q)^2}$$

stimmt. Der Startwert ist n=0.

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n%3D0+to+infty+(n%2B1)q%5En

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Stimmt vielen dank und schönen Abend noch