Eine summe ableiten ? möglich ?

Question

Hallo !

Ich wollte fragen ob man eine Summe ableiten kann ? und wenn ja wie geht das ?

als Beispiel würde ich gern wissen wie man die Summe von arctan(x) ableiten kann ? weil die ist nicht so einfach

danke sehr 

Answer 1

ja Potenzreihen kann man ableiten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Differentiation_und_Integration

Zum Arcustangens:

$$arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ arctan(x)'=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}{x^{2n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-x^2)^n}=\frac{1}{1+x^2}\\$$

Zur Not kannst du auch die ersten Summanden ausschreiben und per Hand ableiten und schauen was passiert:

$$arctan(x)=x-1/3x^3+1/5x^5+...\\ arctan(x)'=1-x^2+x^4-...$$