Wie löst man folgende Gleichung 4. Grades?

Question

ich bin echt am verzweifeln. Ich soll folgende Gleichung nach x auflösen, in Abhängigkeit von k.

x^4 -2kx^2 + x + k^2 + k = 0.

(,, X hoch 4 minus zwei mal k mal x im quadrat plus x plus k im quadrat plus k")

Ich habe schon etliches versucht (konkrete Beispiele für k, Substitution mit i^2 = x, Grafikrechner, Geogebra, ....), aber die Lösung scheint mir unerreichbar. Mich stört, dass ich ungerade und gerade Potenzen habe, hätte ich statt plus x ein plus x quadrat wäre die Lösung durch Substitution schnell erreicht (und der Lösungsweg einigermaßen Aufgabentypisch, schön zu lösen).

Ich hab das Gefühl, mein Lehrer hat sich verschrieben und wollte anstatt x eigentlich x^2 schreiben...

Danke für Eure Lösungen, vielleicht liege ich ja doch falsch und es gibt eine!

Comments

Ich würde auch sagen, dass sich der Lehrer verschrieben hat

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E4+-+2%C2%B7k%C2%B7x%5E2+%2B+x+%2B+k%5E2+%2B+k+%3D+0+for+x

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Ich habe mich verschrieben, es sollte k² - k heißen.

Ich weiß, dass das faktorisiert (x² - x - k +1)(x² + x - k) ist. Aber wie kommt man da drauf????

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Vom Duplikat:

Titel: Woher weiß ich, wie ich einen Term faktorisieren soll?

Stichworte: gleichung,algebra

Ich weiß, dass der Term x⁴ - 2*k*x² + x + k² - k faktorisiert (x2 - x - k +1)(x2 + x - k) ist. Aber wie kommt man da drauf????

Ich kenne das nur, wenn z.B. x überall drinnen ist und man ausklammert, oder Polynomdivision, aber das ist mir völlig fremd wie das gehen soll.

Answer 1

x^4 - 2·k·x^2 + x + k^2 - k = 0

k^2 - 2·x^2·k - k + x^4 + x = 0

k^2 - (2·x^2 + 1)·k + x^4 + x = 0

k = x^2 + 1/2 ± √((x^2 + 1/2)^2 - (x^4 + x))

k = x^2 + 1/2 ± √(x^2 - x + 1/4)

k = x^2 + 1/2 ± √((x - 1/2)^2)

k = x^2 + 1/2 ± (x - 1/2)

k1 = x^2 - x + 1

k2 = x^2 + x

Damit ist eine Faktorzerlegung

(k - (x^2 - x + 1))·(k - (x^2 + x)) = 0

= (x^2 - x + 1 - k)·(x^2 + x - k) = 0

Beide Klammern kann man jetzt getrennt mit der pq-Formel lösen.

x1,2 = 1/2 ± √(k - 3/4)

x3,4 = -1/2 ± √(k + 1/4)

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Danke jetzt hab ich's.

Ich wäre da aber nie selber draufgekommen...

Answer 2

Betrachte deine Gleichung als Funktion von k und wende die pq-Formel an.

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Danke, aber ich habe keine Ahnung, was ich machen soll. Gehe erst in die 9. Klasse (tut mir Leid, wenn ich Arbeit mache, aber ich würde das gerne verstehen ;).

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Sortiere zunächst um: k² - (2x² + 1)k + x⁴ + x = 0.
Wende nun die pq-Formel mit p = -(2x² + 1) und q = x⁴ + x an.

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Danke, jetzt hab ich's.

Wäre aber niemals alleine draufgekommen.