Wie löst man diese trigonometrisxhe Gleichung und kommt auf 5 Lösungen?

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{2} \)sin(x)+2\( (sin(x))^{2} \) = 0

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe nur auf zwei Lösungen. 0 und -45. Angegeben sind aber 5 Lösungen und ich weiß nicht, welchen Fehler ich mache .

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Gib mal das zugrundeliegende Intervall an.

Answer 1

$$0=\sqrt{2}\cdot\sin(x)+2\cdot\left(\sin(x)\right)^2 \\ 0=2\cdot\sin(x)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sin(x)\right) \\ \sin(x)= 0\quad\lor\quad \sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

Comments

Aber das sind doch jetzt auch nur zwei Lösungen. Ich habe den Graphen auch zeichnen lassen und für das Intervall [0;2π] gibt es 5 Nullstellen. Wie kommt man von der obrigen Lösung auf die 5 Nullstellen ?

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Noch sind das keine Lösungen, bisher habe ich nur die Gleichung vereinfacht. Beachte die Periodizität des Sinus und den Zusammenhang \(\sin(x)=\sin(\pi-x)\), dann kommen im genannten Intervall auch fünf Lösungen heraus.

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Die Lösungen im Intervall \(\left[0,\:2\pi\right]\) lauten

$$ \arcsin(0),\\ \arcsin(0)+\pi,\\ \arcsin(0)+2\pi, \\ \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi\text{   und} \\ \pi-\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

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Wie kommt man auf diese Lösungen. Können Sie mir das an einem Beispiel verdeutlichen ?

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Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind die ganzzahligen Vielfachen von Pi, weswegen die Teilgleichung \(\sin(x) = 0\) bereits ohne jede Rechnung im angegebenen Intervall die Lösungsmenge \(\left\{0,\:\pi,\:2\pi\right\}\) beiträgt.