ich würde jetzt einfach die Stammfunktion ableiten:
$$F(x)=\frac{1}{4}\cdot\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\arctan(x)$$
Ich betrachte die Ableitung von \(\arctan(x)\) als Standardableitung.
$$\frac{d}{dx}\left(\arctan(x)\right)=\frac{1}{x^2+1}$$
Nebenrechnung mit Quotientenregel, Kettenregel und \(\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}\)
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\cdot\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} =\\\frac{1}{4}\cdot\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{2}{(1-x)^2}=\frac{1}{2\cdot (1+x)\cdot (1-x)}$$
Jetzt zusammenführen und vereinfachen:
$$\frac{1}{2\cdot (1+x)\cdot (1-x)}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2\cdot (1-x+x-x^2)}-\frac{1}{x^2+1}=\\\frac{1}{2\cdot (1-x^2)}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{(x^2+1)\cdot 2\cdot (1-x^2)}-\frac{2\cdot(1-x^2)}{(x^2+1)\cdot 2\cdot (1-x^2)}=\\\frac{x^2+1-2-2x^2}{(x^2+1)\cdot 2\cdot (1-x^2)}=\frac{-x^2-1}{2\cdot (x^2-x^4+1-x^2)}=\frac{-x^2-1}{2\cdot (x^4+1)}$$
Ich komme, wie die anderen auch auf etwas anderes.