die Bestimmung einer Stammfunktion ist hier meines Wissens mit den üblichen algebraischen Mitteln nicht möglich.
$$\text{(1) Für alle }t>0\text{ ist }e^{-\frac12t^2}>0\text{ und damit auch }\int_x^\infty e^{-\frac12t^2}\,\mathbb dt>0$$$$\text{für }x>0.\text{ Da auch }e^{\frac12x^2}>0\text{ für alle }x>0\text{ ist, gilt } g(x)>0.$$$$\text{(2) Für alle }t>0\text{ gilt }\frac1{t^2}e^{-\frac12t^2}>0$$$$\Leftrightarrow e^{-\frac12t^2}<\frac1{t^2}e^{-\frac12t^2}+e^{-\frac12t^2}$$$$\Rightarrow \int_x^\infty e^{-\frac12t^2}\,\mathbb dt\leq\int_x^\infty \left(\frac1{t^2}e^{-\frac12t^2}+e^{-\frac12t^2}\right)\,\mathbb dt\text{ für alle }x>0$$$$\Rightarrow \int_x^\infty e^{-\frac12t^2}\,\mathbb dt\leq\left.-\frac1te^{-\frac12t^2}\right\vert_x^\infty=\frac1xe^{-\frac12x^2}$$$$\Rightarrow e^{\frac12x^2}\cdot\int_x^\infty e^{-\frac12t^2}\,\mathbb dt\leq\frac1x.$$$$\text{(3) Nach Produktregel für die Ableitung und Teil (2) gilt}$$$$\begin{aligned}g'(x)&=x\cdot e^{\frac12x^2}\cdot\int_x^\infty e^{-\frac12t^2}\,\mathbb dt-e^{\frac12x^2}\cdot e^{-\frac12x^2}\\&=x\cdot g(x)-1\leq x\cdot\frac1x-1\leq0.\end{aligned}$$$$\text{Daher ist }g\text{ monoton fallend.}$$
