Funktionsgleichung bestimmen

Question

Ein Zeiger der Länge 1 und mit dem Drehpunkt (0|0) zeigt beim Start auf P(0|1). Eine Parallele zur x-Achse geht beim Start durch P. Zeiger und Parallele bewegen sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf die x-Achse zu, auf der sie gleichzeitig ankommen.

a) Welche Funkiionsgleichung hat der geometrische Ort des Schnittpunktes von Zeiger und Parallele zu x-Achse?

b) Welche Steigung hat der Graph der unter a) gefundenen Funktionsgleichung in P?

Answer 1

Das ist die Quadratrix des Hippias.

.. und das wird eine Antwort:

Die Parameterform hat Der_Mathechoach schon vorgelegt: $$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(1 - t)\cdot \tan\left( \frac \pi 2 t \right)\\ 1 - t\end{pmatrix}$$ aus der zweiten Zeile folgt $t= 1 -y$; das in die erste Zeile einsetzen gibt die Umkehrfunktion: $$x = f^{-1}(y) = y \cdot \tan \left( \frac \pi 2 (1-y)\right)$$

Diese Gleichung stimmt mit der im Wiki-Artikel für $a=1$ überein: $$f^{-1}(y) = y \cdot \cot \left( \frac \pi {2a} y\right)$$ Die Steigung $f'(x=0)$ (im Punkt $P$) hatte ich im Kommentar schon erwähnt (s.u.): Im Punkt P bewegt sich der Zeiger mit $\pi/2$ pro Zeiteinheit nach rechts und die Parallele zur X-Achse mit $1$ pro Zeiteinheit nach unten - macht eine Steigung $f′(x=0)$ von:  $$f'(x=0) = \frac{-1}{\frac\pi2} = \frac{-2}{\pi}$$

Als Goodi noch eine zeichnerische (Näherungs-)Konstruktion der Quadratrix (rot) mittels fortgesetzter Halbierung der Strecke $OP$ und des Winkels zwischen X- und Y-Achse (Punkte $A$ bis $D$).

Die Tangente (grün) in $P$ schneidet die X-Achse bei $\pi/2$. Spiegelt man den Schnittpunkt $Q$ der Quadratrix mit der X-Achse am Ursprung $O$ zu $Q'$, so liegt $P$ auf dem Thaleskreis (gelb) über der Strecke $|Q'(\pi/2|0)|$.

Gruß Werner

Comments

Werner, du hast es erfasst.  Wenn du jetzt eine Antwort formulierst, wäre das die "beste Antwort".

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Die Funktionsgleichung und ihre Steigung in P solltest du schon angeben

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Hallo Roland,

oben steht zwar mein Name unter der Antwort, aber das ist nicht meine Antwort, sondern das war mein Kommentar. Irgendwelche stillen Helfer im Hintergrund transformieren ab und an einen Kommentar zur Antwort.

Nun gut - die Steigung in $P$ ist kein Problem. Im Punkt $P$ bewegt sich der Zeiger mit $\pi/2$ pro Zeiteinheit nach rechts und die Parallele zur X-Achse mit $1$ pro Zeiteinheit nach unten - macht eine Steigung $f'(x=0)$ von:

$$f'(x=0) = \frac{-1}{\frac\pi2} = \frac{-2}{\pi}$$

dafür muss ich weder die Funktion und noch nicht einmal ihre Parameterform kennen (s. Mathecoachs Antwort).

Aber die Funktion ... !? Es wäre ein Leichtes die Umkehrfunktion $x=f^{-1}(y)$ anzugeben (steht ja auch im Wiki-Artikel), aber Du suchst $y=f(x)$ - oder?

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Danke für die Berechnung der Steigung ohne Kenntnis der Funktion selbst. Die Umkehrfunktion genügt mir.

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.. ich habe es noch mal ausgeführt (s.o.)

Answer 2

a) Ich kann hier nur eine Parameterform angeben

[x, y] = [(1 - t)·TAN(pi·t/2), 1 - t] für 0 <= t <= 1

Trotzdem kann man das ja mal zeichnen und auch die Steigung ermitteln sollte nicht so schwer sein.