sammle zunächst alle Informationen aus der Aufgabe:
Der Graph (dritten Grades)
die allgemeine Form wäre also: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
... berührt die x-Achse bei x=-1 ...
Sind zwei Informationen: dort muss \(y=0\) sein, Es existiert also ein Punkt \(f(x=-1) = 0\). Berühren heißt nicht schneiden, folglich ist dort die Steigung =0 - also \(f'(x=-1)=0\).
... und schneidet die y-Achse bei y=2.
Wieder ein Punkt - die y-Achse ist bei x=0: \(f(0) = 2\)
Die Tangente für x=2 hat die Steigung m=-9
Die Funktion hat am Berührpunkt die identische Steigung wie die Tangente - demnach ist: \(f'(x=2)=-9\). Das sind vier Informationen für die vier Unbekannten \(a\) bis \(d\). Aus \(f(0)=2\) folgt unmittelbar \(d=2\). Einsetzen der verbleibenden drei Bedingungen gibt: $$f(-1)= a\cdot (-1)^3 + b\cdot (-1)^2 + c\cdot(-1) + 2 = 0 \\ f'(-1) = 3a\cdot (-1)^2 + 2b\cdot (-1) + c = 0\\ f'(2) = 3a \cdot 2^2 + 2b \cdot 2 + c = -9$$ das ganze als Matrix geschrieben: $$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 12 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -9 \end{pmatrix}$$ und nach Gauß gelöst: $$\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & 1 & -9 \end{array} \\ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 16 & -11 & -33 \end{array} \\ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 21 & 63 \end{array} \\ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \\ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}$$Die Lösungen sind also \(a=-1\), \(b=0\) und \(c=3\). Die Funktion lautet also $$y = -x^3 + 3x + 2 $$ Der Plot zeigt es nochmal:
~plot~ -x^3+3x+2;{-1|0};-9(x-2);{2|0};{0|2};[[-4|+4|-3|6]] ~plot~
scheint zu passen;
Gruß Werner
