Question

Zeigen Sie: Für a, b, c, d ∈ ℝ ist (a² + b²)(c² + d²) die Summe zweier Quadrate. Notieren Sie bei jeder Umformung die jeweils verwendeten Axiome der reellen Zahlen. 

Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe. Wie formt man das so um, dass der Term eine Summe von Quadraten wird?

Answer 1

Lösung:

$$ = (ad-bc)^2+(ac+bd)^2 \\ =a^2d^2–2adbc+b^2c^2+a^2c^2+2acbd+b^2d^2 \\ =a^2.d^2+b^2.c^2+a^2.c^2 +b^2.d^2 \\ =a^2.d^2+b^2.d^2+b^2.c^2+a^2.c^2 \\ =d^2(a^2+b^2)+c^2(b^2+a^2) \\ =(a^2+b^2)(d^2+c^2) $$

q.e.d.

Quelle: https://www.quora.com/How-can-I-prove-that-a-2+b-2-c-2+d-2-ad-bc-2-+-ac+bd-2

Die Axiome kannst du selber nachschlagen: https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)#Einzelaufz%C3%A4hlung_der_ben%C3%B6tigten_Axiome